Network flow formulations are among the most successful tools to solve optimization problems. One of such formulations is the arc flow, where variables represent flows on individual arcs of the network. For $\mathcal{NP}$-hard problems, polynomial-sized arc flow models typically provide weak linear relaxations and may have too much symmetry to be efficient in practice. Instead, arc flow models with a pseudo-polynomial size usually provide strong relaxations and are efficient in practice. The interest in pseudo-polynomial arc flow formulations has grown considerably in the last twenty years, in which they have been used to solve many open instances of hard problems. A remarkable advantage of arc flow models is the possibility to solve practical-sized instances directly by a Mixed Integer Linear Programming solver, avoiding the implementation of complex methods based on column generation. In this survey, we present theoretical foundations of pseudo-polynomial arc flow formulations, by showing a relation between their network and Dynamic Programming (DP). This relation allows a better understanding of the strength of these formulations, through a link with models obtained by Dantzig-Wolfe decomposition. The relation with DP also allows a new perspective to relate state-space relaxation methods for DP with arc flow models. We also present a dual point of view to contrast the linear relaxation of arc flow models with that of models based on paths and cycles. To conclude, we review the main solution methods and applications of arc flow models based on DP in several domains such as cutting, packing, scheduling, and routing.

中文翻译：

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基于动态规划的弧流公式：理论基础和应用

网络流公式是解决优化问题最成功的工具之一。其中一种公式是弧流，其中变量表示网络各个弧上的流。对于 $\mathcal{NP}$-hard 问题，多项式大小的弧流模型通常提供弱线性松弛，并且可能具有过多的对称性而无法在实践中有效。相反，具有伪多项式大小的弧流模型通常提供强松弛并且在实践中是有效的。在过去的 20 年中，对伪多项式弧流公式的兴趣显着增长，其中它们已被用于解决许多困难问题的开放实例。弧流模型的一个显着优势是可以通过混合整数线性规划求解器直接求解实际大小的实例，避免实现基于列生成的复杂方法。在本次调查中，我们通过展示伪多项式弧流公式的网络与动态规划 (DP) 之间的关系，展示了它们的理论基础。通过与 Dantzig-Wolfe 分解获得的模型的链接，这种关系可以更好地理解这些公式的强度。与 DP 的关系还允许以新的视角将 DP 的状态空间松弛方法与电弧流模型联系起来。我们还提出了一个双重观点来对比弧流模型的线性松弛与基于路径和循环的模型的线性松弛。最后，我们回顾了基于 DP 的弧流模型在切割、包装、调度和路由等多个领域的主要求解方法和应用。我们通过展示伪多项式弧流公式的网络和动态规划 (DP) 之间的关系，展示了它们的理论基础。通过与 Dantzig-Wolfe 分解获得的模型的链接，这种关系可以更好地理解这些公式的强度。与 DP 的关系还允许以新的视角将 DP 的状态空间松弛方法与电弧流模型联系起来。我们还提出了一个双重观点来对比弧流模型的线性松弛与基于路径和循环的模型的线性松弛。最后，我们回顾了基于 DP 的弧流模型在切割、包装、调度和路由等多个领域的主要求解方法和应用。我们通过展示伪多项式弧流公式的网络和动态规划 (DP) 之间的关系，展示了它们的理论基础。通过与 Dantzig-Wolfe 分解获得的模型的链接，这种关系可以更好地理解这些公式的强度。与 DP 的关系还允许以新的视角将 DP 的状态空间松弛方法与电弧流模型联系起来。我们还提出了一个双重观点来对比弧流模型的线性松弛与基于路径和循环的模型的线性松弛。最后，我们回顾了基于 DP 的弧流模型在切割、包装、调度和路由等多个领域的主要求解方法和应用。通过与 Dantzig-Wolfe 分解获得的模型的链接，这种关系可以更好地理解这些公式的强度。与 DP 的关系还允许以新的视角将 DP 的状态空间松弛方法与电弧流模型联系起来。我们还提出了一个双重观点来对比弧流模型的线性松弛与基于路径和循环的模型的线性松弛。最后，我们回顾了基于 DP 的弧流模型在切割、包装、调度和路由等多个领域的主要求解方法和应用。通过与 Dantzig-Wolfe 分解获得的模型的链接，这种关系可以更好地理解这些公式的强度。与 DP 的关系还允许以新的视角将 DP 的状态空间松弛方法与电弧流模型联系起来。我们还提出了一个双重观点来对比弧流模型的线性松弛与基于路径和循环的模型的线性松弛。最后，我们回顾了基于 DP 的弧流模型在切割、包装、调度和路由等多个领域的主要求解方法和应用。我们还提出了一个双重观点来对比弧流模型的线性松弛与基于路径和循环的模型的线性松弛。最后，我们回顾了基于 DP 的弧流模型在切割、包装、调度和路由等多个领域的主要求解方法和应用。我们还提出了一个双重观点来对比弧流模型的线性松弛与基于路径和循环的模型的线性松弛。最后，我们回顾了基于 DP 的弧流模型在切割、包装、调度和路由等多个领域的主要求解方法和应用。