Abstract We study new partition properties of infinite K n -free graphs. First, we investigate the number bpi ( G , m ) introduced by A. Aranda et al. (denoted there by r ( G , m ) ) : the minimal r so that for any partition of G into r classes of equal size, there exists an independent set which meets at least m classes in size | G | . In the case of Henson’s countable universal K n -free graph H n , we express bpi ( H n m ) by well-known Ramsey-numbers for finite digraphs. In particular we answer a conjecture of Thomasse (2000) by showing that indeed bpi ( H n , 2 ) = 2 for all n ⩾ 3 . Furthermore, we bound and in some cases determine bpi ( G , m ) for certain geometric graphs, including shift graphs, unit distance graphs and orthogonality graphs. Second, we prove a new universal partition property for H n . Given a finite bipartite graph G on classes A , B , we show that for any balanced 2-colouring of H n there is an induced copy of G in H n so that the images of A and B are monochromatic of distinct colours. We end our paper with further open problems.

中文翻译：

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无限同构 Kn-free 和相关图的通用划分结果

摘要 我们研究了无限 K n 自由图的新分区特性。首先，我们研究了 A. Aranda 等人介绍的 bpi ( G , m ) 数。（用 r ( G , m ) 表示）：最小的 r 使得对于 G 的任何划分为 r 个相等大小的类，存在一个独立的集合，该集合在大小上至少满足 m 个类 | G | . 在 Henson 的可数通用 K n 自由图 H n 的情况下，我们用众所周知的有限有向图的拉姆齐数表示 bpi ( H nm )。特别地，我们通过证明对于所有 n ⩾ 3 确实 bpi ( H n , 2 ) = 2 来回答 Thomasse (2000) 的猜想。此外，我们限定并在某些情况下确定某些几何图形的 bpi ( G , m )，包括位移图、单位距离图和正交图。其次，我们证明了 H n 的一个新的通用划分属性。给定 A 、 B 类上的有限二部图 G，我们证明对于 H n 的任何平衡 2-着色，在 H n 中存在 G 的诱导副本，因此 A 和 B 的图像是不同颜色的单色。我们以进一步的开放性问题结束我们的论文。