In 2009, Ted and Paul Hurley proposed a code construction method using group rings. These codes with single generator are termed group ring codes and in particular zero-divisor codes when using zero-divisors as generators. In this paper, we mainly study the equivalency of zero-divisor codes in $$F_2G$$ having generator from I(G), the set of all idempotents in $$F_2G$$. For abelian G, our previous notion of generated idempotents completely classified I(G) by serving as its basis. Here, we first extend the notion of generated idempotents to study and classify some elements in I(G) for non-abelian G. Later, the study is generally done on equivalency of zero-divisor codes in $$F_2G$$, then concentrating on those with idempotent generator. In particular, we affirm the conjecture “Every group ring code in $$F_2D_{2n}$$ is equivalent to some in $$F_2C_{2n}$$” in the cases where the generators are our classified idempotents. We also show that the equivalency of zero-divisor codes in $$F_2C_n$$ with generated idempotent as generators can be established sufficiently on the generator property.

中文翻译：

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通过对它们的幂等生成器进行分类，关于零除数代码的等价性

2009 年，Ted 和 Paul Hurley 提出了一种使用群环的代码构建方法。这些具有单个发生器的代码被称为群环码，特别是当使用零因数作为发生器时的零因数代码。在本文中，我们主要研究具有生成器的$$F_2G$$ 中零除数代码的等价性，其中生成器来自I(G)，即$$F_2G$$ 中所有幂等项的集合。对于阿贝尔 G，我们之前的生成幂等概念通过作为其基础对 I(G) 进行了完全分类。在这里，我们首先将生成幂等的概念扩展到对非阿贝尔 G 的 I(G) 中的一些元素进行研究和分类。 后来，研究一般是在 $$F_2G$$ 中的零除数代码的等价性上进行的，然后集中对于那些具有幂等生成器的人。特别是，在生成器是我们分类的幂等的情况下，我们肯定了“$F_2D_{2n}$$ 中的每个群环码等价于 $$F_2C_{2n}$$ 中的一些”的猜想。我们还表明 $$F_2C_n$$ 中的零除数代码与生成的幂等作为生成器的等价性可以在生成器属性上充分建立。