The existence of a strict deformation quantization of $X_k=S(M_k({\mathbb{C}}))$, the state space of the $k\times k$ matrices $M_k({\mathbb{C}})$ which is canonically a compact Poisson manifold (with stratified boundary) has recently been proven by both authors and K. Landsman \cite{LMV}. In fact, since increasing tensor powers of the $k\times k$ matrices $M_k({\mathbb{C}})$ are known to give rise to a continuous bundle of $C^*$-algebras over $I=\{0\}\cup 1/\mathbb{N}\subset[0,1]$ with fibers $A_{1/N}=M_k({\mathbb{C}})^{\otimes N}$ and $A_0=C(X_k)$, we were able to define a strict deformation quantization of $X_k$ a la Rieffel, specified by quantization maps $Q_{1/N}: \tilde{A}_0\rightarrow A_{1/N}$, with $\tilde{A}_0$ a dense Poisson subalgebra of $A_0$. A similar result is known for the symplectic manifold $S^2\subset\mathbb{R}^3$, for which in this case the fibers $A'_{1/N}=M_{N+1}(\mathbb{C})\cong B(\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2))$ and $A_0'=C(S^2)$ form a continuous bundle of $C^*$-algebras over the same base space $I$, and where quantization is specified by (a priori different) quantization maps $Q_{1/N}': \tilde{A}_0' \rightarrow A_{1/N}'$. In this paper we focus on the particular case $X_2\cong B^3$ (i.e the unit three-ball in $\mathbb{R}^3$) and show that for any function $f\in \tilde{A}_0$ one has $\lim_{N\to\infty}||(Q_{1/N}(f))|_{\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)}-Q_{1/N}'(f|_{_{S^2}})||_N=0$, were $\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)$ denotes the symmetric subspace of $(\mathbb{C}^2)^{N \otimes}$. Finally, we give an application regarding the (quantum) Curie-Weiss model.

中文翻译：

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两个严格变形量化的体边界渐近等价

$X_k=S(M_k({\mathbb{C}}))$的严格变形量化的存在，$k\times k$矩阵的状态空间$M_k({\mathbb{C}})$最近，作者和 K. Landsman \cite{LMV} 都证明了这是典型的紧凑泊松流形（具有分层边界）。事实上，由于增加了 $k\times k$ 矩阵 $M_k({\mathbb{C}})$ 的张量幂已知会在 $I=\ 上产生连续的 $C^*$-代数束{0\}\cup 1/\mathbb{N}\subset[0,1]$ 与纤维 $A_{1/N}=M_k({\mathbb{C}})^{\otimes N}$ 和 $ A_0=C(X_k)$，我们能够定义 $X_k$ a la Rieffel 的严格变形量化，由量化映射 $Q_{1/N} 指定：\tilde{A}_0\rightarrow A_{1/N }$，其中 $\tilde{A}_0$ 是 $A_0$ 的密集泊松子代数。辛流形 $S^2\subset\mathbb{R}^3$ 也有类似的结果，在这种情况下，纤维 $A'_{1/N}=M_{N+1}(\mathbb{C})\cong B(\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2) )$ 和 $A_0'=C(S^2)$ 在同一基空间 $I$ 上形成连续的 $C^*$-代数束，其中量化由（先验不同的）量化映射 $Q_ 指定{1/N}': \tilde{A}_0' \rightarrow A_{1/N}'$。在本文中，我们关注特殊情况 $X_2\cong B^3$（即 $\mathbb{R}^3$ 中的单位三球）并证明对于任何函数 $f\in \tilde{A} _0$ 有 $\lim_{N\to\infty}||(Q_{1/N}(f))|_{\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)}-Q_{ 1/N}'(f|_{_{S^2}})||_N=0$，分别是$\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)$表示$的对称子空间(\mathbb{C}^2)^{N \otimes}$。最后，我们给出了一个关于（量子）居里-魏斯模型的应用。_{1/N}=M_{N+1}(\mathbb{C})\cong B(\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2))$ 和 $A_0'=C(S ^2)$ 在相同的基空间 $I$ 上形成连续的 $C^*$-代数束，其中量化由（先验不同的）量化映射 $Q_{1/N}': \tilde{ A}_0' \rightarrow A_{1/N}'$。在本文中，我们关注特殊情况 $X_2\cong B^3$（即 $\mathbb{R}^3$ 中的单位三球）并证明对于任何函数 $f\in \tilde{A} _0$ 有 $\lim_{N\to\infty}||(Q_{1/N}(f))|_{\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)}-Q_{ 1/N}'(f|_{_{S^2}})||_N=0$，分别是$\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)$表示$的对称子空间(\mathbb{C}^2)^{N \otimes}$。最后，我们给出了一个关于（量子）居里-魏斯模型的应用。_{1/N}=M_{N+1}(\mathbb{C})\cong B(\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2))$ 和 $A_0'=C(S ^2)$ 在相同的基空间 $I$ 上形成连续的 $C^*$-代数束，其中量化由（先验不同的）量化映射 $Q_{1/N}': \tilde{ A}_0' \rightarrow A_{1/N}'$。在本文中，我们关注特殊情况 $X_2\cong B^3$（即 $\mathbb{R}^3$ 中的单位三球）并证明对于任何函数 $f\in \tilde{A} _0$ 有 $\lim_{N\to\infty}||(Q_{1/N}(f))|_{\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)}-Q_{ 1/N}'(f|_{_{S^2}})||_N=0$，分别是$\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)$表示$的对称子空间(\mathbb{C}^2)^{N \otimes}$。最后，我们给出了一个关于（量子）居里-魏斯模型的应用。并且其中量化由（先验不同的）量化映射 $Q_{1/N}': \tilde{A}_0' \rightarrow A_{1/N}'$ 指定。在本文中，我们关注特殊情况 $X_2\cong B^3$（即 $\mathbb{R}^3$ 中的单位三球）并证明对于任何函数 $f\in \tilde{A} _0$ 有 $\lim_{N\to\infty}||(Q_{1/N}(f))|_{\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)}-Q_{ 1/N}'(f|_{_{S^2}})||_N=0$，分别是$\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)$表示$的对称子空间(\mathbb{C}^2)^{N \otimes}$。最后，我们给出了一个关于（量子）居里-魏斯模型的应用。并且其中量化由（先验不同的）量化映射 $Q_{1/N}': \tilde{A}_0' \rightarrow A_{1/N}'$ 指定。在本文中，我们关注特殊情况 $X_2\cong B^3$（即 $\mathbb{R}^3$ 中的单位三球）并证明对于任何函数 $f\in \tilde{A} _0$ 有 $\lim_{N\to\infty}||(Q_{1/N}(f))|_{\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)}-Q_{ 1/N}'(f|_{_{S^2}})||_N=0$，分别是$\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)$表示$的对称子空间(\mathbb{C}^2)^{N \otimes}$。最后，我们给出了一个关于（量子）居里-魏斯模型的应用。e $\mathbb{R}^3$) 中的单位三球并证明对于任何函数 $f\in \tilde{A}_0$ 一个有 $\lim_{N\to\infty}||(Q_ {1/N}(f))|_{\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)}-Q_{1/N}'(f|_{_{S^2}}) ||_N=0$，其中 $\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)$ 表示 $(\mathbb{C}^2)^{N \otimes}$ 的对称子空间。最后，我们给出了一个关于（量子）居里-魏斯模型的应用。e $\mathbb{R}^3$) 中的单位三球并证明对于任何函数 $f\in \tilde{A}_0$ 一个有 $\lim_{N\to\infty}||(Q_ {1/N}(f))|_{\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)}-Q_{1/N}'(f|_{_{S^2}}) ||_N=0$，其中 $\text{Sym}^N(\mathbb{C}^2)$ 表示 $(\mathbb{C}^2)^{N \otimes}$ 的对称子空间。最后，我们给出了一个关于（量子）居里-魏斯模型的应用。