In this article, we study some fault-tolerant covering problems in metric spaces. In the metric multi-cover problem (MMC), we are given two point sets Y (servers) and X (clients) in an arbitrary metric space $$(X \cup Y, d)$$ , a positive integer k that represents the coverage demand of each client, and a constant $$\alpha \ge 1$$ . Each server can host a single ball of arbitrary radius centered on it. Each client $$x \in X$$ needs to be covered by at least k such balls centered on servers. The objective function that we wish to minimize is the sum of the $$\alpha $$ -th powers of the radii of the balls. We also study some non-trivial generalizations of the MMC, such as (a) the non-uniform MMC, where we allow client-specific demands, and (b) the t-MMC, where we require the number of open servers to be at most some given integer t. We present the first constant approximations for these fault-tolerant covering problems. Our algorithms are based on the following paradigm: for each of the three problems, we present an efficient algorithm that reduces the problem to several instances of the corresponding 1-covering problem, where the coverage demand of each client is 1. The reductions preserve optimality up to a multiplicative constant factor. Applying known constant factor approximation algorithms for 1-covering, we obtain our results for the MMC and these generalizations.

中文翻译：

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度量空间中的容错覆盖问题

在本文中，我们研究了度量空间中的一些容错覆盖问题。在度量多重覆盖问题 (MMC) 中，我们在任意度量空间 $$(X \cup Y, d)$$ 中给定了两个点集 Y（服务器）和 X（客户端），一个正整数 k 表示每个客户的覆盖需求，以及一个常数 $$\alpha \ge 1$$ 。每个服务器都可以托管一个以它为中心的任意半径的球。每个客户端 $$x \in X$$ 需要被至少 k 个以服务器为中心的这样的球覆盖。我们希望最小化的目标函数是球半径的 $$\alpha $$ 次幂之和。我们还研究了 MMC 的一些非平凡的概括，例如 (a) 非统一 MMC，我们允许特定于客户端的需求，以及 (b) t-MMC，我们需要开放服务器的数量至多某个给定的整数 t。我们提出了这些容错覆盖问题的第一个常数近似值。我们的算法基于以下范式：对于这三个问题中的每一个，我们都提出了一种有效的算法，将问题简化为相应 1-covering 问题的几个实例，其中每个客户端的覆盖需求为 1。减少保持最优性乘以常数因子。将已知的常数因子近似算法应用于 1-covering，我们获得了 MMC 和这些概括的结果。其中每个客户端的覆盖需求为 1。减少保持最优性直到乘法常数因子。将已知的常数因子近似算法应用于 1-covering，我们获得了 MMC 和这些概括的结果。其中每个客户端的覆盖需求为 1。减少保持最优性直到乘法常数因子。将已知的常数因子近似算法应用于 1-covering，我们获得了 MMC 和这些概括的结果。