Let p be a prime and n be a positive integer. Let $f_b(X)=X+{(X^p-X+b)}^{-1}$, where $b\in {\mathbb{F}}_{p^n}$ is such that ${\text{Tr}}_{p^n/p}(b)\ne 0$. In 2008, Yuan et al. [12] showed that for $p=2,3$, $f_b$ permutes ${\mathbb{F}}_{p^n}$ for all $n\ge 1$. Using the Hasse-Weil bound, we show that when $p>3$ and $n\ge 5$, $f_b$ does not permute ${\mathbb{F}}_{p^n}$. For $p>3$ and $n=2$, we prove that $f_b$ permutes ${\mathbb{F}}_{p^2}$ if and only if ${\text{Tr}}_{p^2/p}(b)=\pm 1$. We conjecture that for $p>3$ and $n=3,4$, $f_b$ does not permute ${\mathbb{F}}_{p^n}$.

中文翻译：

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关于有限域上的一类置换有理函数

令p为质数，n为正整数。让$F_b（X）=X+{（X^p-X+b）}^{-\mathrm{1个}}$，在哪里 $b\in {\mathbb{F}}_{p^{ñ}}$ 就是这样 ${\text{Tr}}_{p^{ñ}/p}（b）\ne 0$。2008年，袁等人。[12]表明，对于$p=2，3$， $F_b$ 排列 ${\mathbb{F}}_{p^{ñ}}$ 对所有人 $ñ\ge \mathrm{1个}$。使用Hasse-Weil边界，我们证明了当$p>3$ 和 $ñ\ge 5$， $F_b$ 不置换 ${\mathbb{F}}_{p^{ñ}}$。对于$p>3$ 和 $ñ=2$，我们证明 $F_b$ 排列 ${\mathbb{F}}_{p^2}$ 当且仅当 ${\text{Tr}}_{p^2/p}（b）=\pm \mathrm{1个}$。我们推测$p>3$ 和 $ñ=3，4$， $F_b$ 不置换 ${\mathbb{F}}_{p^{ñ}}$。