We derive formulas for the mean curvature of associative 3-folds, coassociative 4-folds, and Cayley 4-folds in the general case where the ambient space has intrinsic torsion. Consequently, we are able to characterize those $$\text{G}_2$$ G 2 -structures (resp., Spin(7)-structures) for which every associative 3-fold (resp. coassociative 4-fold, Cayley 4-fold) is a minimal submanifold. In the process, we obtain new obstructions to the local existence of coassociative 4-folds in $$\text{G}_2$$ G 2 -structures with torsion.

中文翻译：

---

具有扭转的特殊几何中的一阶子流形的平均曲率

在环境空间具有内在扭转的一般情况下，我们推导出关联 3 折、协关联 4 折和凯莱 4 折的平均曲率的公式。因此，我们能够表征那些 $$\text{G}_2$$ G 2 -结构（相应的，Spin(7)-结构），其中每个关联 3-fold（resp. coassociative 4-fold，Cayley 4 -fold) 是一个最小的子流形。在这个过程中，我们获得了新的障碍，阻止了 $$\text{G}_2$$ G 2 -结构中的局部存在的共结合 4-folds 扭转。