In the context of 4d effective gravity theories with 8 supersymmetries, we propose to unify, strenghten, and refine the several swampland conjectures into a single statement: the structural criterion, modelled on the structure theorem in Hodge theory. In its most abstract form the new swampland criterion applies to all 4d $\mathcal{N}=2$ effective theories (having a quantum-consistent UV completion) whether supersymmetry is \emph{local} or rigid: indeed it may be regarded as the more general version of Seiberg-Witten geometry which holds both in the rigid and local cases. As a first application of the new swampland criterion we show that a quantum-consistent $\mathcal{N}=2$ supergravity with a cubic pre-potential is necessarily a truncation of a higher-$\mathcal{N}$ \textsc{sugra}. More precisely: its moduli space is a Shimura variety of `magic' type. In all other cases a quantum-consistent special Kahler geometry is either an arithmetic quotient of the complex hyperbolic space $SU(1,m)/U(m)$ or has no \emph{local} Killing vector. Applied to Calabi-Yau 3-folds this result implies (assuming mirror symmetry) the validity of the Oguiso-Sakurai conjecture in Algebraic Geometry: all Calabi-Yau 3-folds $X$ without rational curves have Picard number $\rho=2,3$; in facts they are finite quotients of Abelian varieties. More generally: the Kahler moduli of $X$ do not receive quantum corrections if and only if $X$ has infinite fundamental group. In all other cases the Kahler moduli have instanton corrections in (essentially) all possible degrees.

中文翻译：

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特殊几何形状和沼泽地

在具有 8 个超对称性的 4d 有效引力理论的背景下，我们建议将几个沼泽地猜想统一、加强和细化为一个单一的陈述：结构准则，以霍奇理论中的结构定理为模型。以最抽象的形式，新的沼泽标准适用于所有 4d $\mathcal{N}=2$ 有效理论（具有量子一致的 UV 完成），无论超对称是 \emph{local} 还是刚性：实际上它可以被视为Seiberg-Witten 几何的更一般版本，它同时适用于刚性和局部情况。作为新沼泽地准则的第一个应用，我们表明具有三次预势的量子相容 $\mathcal{N}=2$ 超引力必然是更高 $\mathcal{N}$ \textsc{ sugra}。更确切地说：它的模空间是“魔法”类型的志村变体。在所有其他情况下，量子一致的特殊 Kahler 几何要么是复双曲空间 $SU(1,m)/U(m)$ 的算术商，要么没有 \emph{local} 杀死向量。应用于 Calabi-Yau 3-folds 这个结果意味着（假设镜像对称）Oguiso-Sakurai 猜想在代数几何中的有效性：所有没有有理曲线的 Calabi-Yau 3-fold $X$ 都有 Picard 数 $\rho=2， 3$; 事实上，它们是阿贝尔簇的有限商。更一般地：当且仅当 $X$ 具有无限基本群时，$X$ 的 Kahler 模量不会接受量子校正。在所有其他情况下，Kahler 模量在（基本上）所有可能的度数上都有瞬时子校正。在所有其他情况下，量子一致的特殊 Kahler 几何要么是复双曲空间 $SU(1,m)/U(m)$ 的算术商，要么没有 \emph{local} 杀死向量。应用于 Calabi-Yau 3-folds 这个结果意味着（假设镜像对称）Oguiso-Sakurai 猜想在代数几何中的有效性：所有没有有理曲线的 Calabi-Yau 3-fold $X$ 都有 Picard 数 $\rho=2， 3$; 事实上，它们是阿贝尔簇的有限商。更一般地：当且仅当 $X$ 具有无限基本群时，$X$ 的 Kahler 模量不会接受量子校正。在所有其他情况下，Kahler 模量在（基本上）所有可能的度数上都有瞬时子校正。在所有其他情况下，量子一致的特殊 Kahler 几何要么是复双曲空间 $SU(1,m)/U(m)$ 的算术商，要么没有 \emph{local} 杀死向量。应用于 Calabi-Yau 3-folds 这个结果意味着（假设镜像对称）Oguiso-Sakurai 猜想在代数几何中的有效性：所有没有有理曲线的 Calabi-Yau 3-fold $X$ 都有 Picard 数 $\rho=2， 3$; 事实上，它们是阿贝尔簇的有限商。更一般地：当且仅当 $X$ 具有无限基本群时，$X$ 的 Kahler 模量不会接受量子校正。在所有其他情况下，Kahler 模量在（基本上）所有可能的度数上都有瞬时子校正。应用于 Calabi-Yau 3-folds 这个结果意味着（假设镜像对称）Oguiso-Sakurai 猜想在代数几何中的有效性：所有没有有理曲线的 Calabi-Yau 3-fold $X$ 都有 Picard 数 $\rho=2， 3$; 事实上，它们是阿贝尔簇的有限商。更一般地：当且仅当 $X$ 具有无限基本群时，$X$ 的 Kahler 模量不会接受量子校正。在所有其他情况下，Kahler 模量在（基本上）所有可能的度数上都有瞬时子校正。应用于 Calabi-Yau 3-folds 这个结果意味着（假设镜像对称）Oguiso-Sakurai 猜想在代数几何中的有效性：所有没有有理曲线的 Calabi-Yau 3-fold $X$ 都有 Picard 数 $\rho=2， 3$; 事实上，它们是阿贝尔簇的有限商。更一般地：当且仅当 $X$ 具有无限基本群时，$X$ 的 Kahler 模量不会接受量子校正。在所有其他情况下，Kahler 模量在（基本上）所有可能的度数上都有瞬时子校正。