A variant of the standard symmetric system of two parallel queues under the join-the-shortest-queue policy is introduced. Here, the shortest queue has service rate $$\mu _1$$ , while the longest queue has rate $$\mu _2$$ , where $$\mu _1 + \mu _2 = 1$$ . In the case of equality, both queues are served at rate 1 / 2. Each queue has capacity K, which may be finite or infinite, and the global Poisson arrival rate is $$\rho $$ . Couplings show that, as $$\mu _2$$ varies, the model is totally ordered, in terms of both total number N(t) of customers in the system and longest queue length. The two extreme cases $$\mu _2= 0$$ and $$\mu _2= 1$$ then provide simple stochastic bounds for N(t) for arbitrary $$\mu _2$$ . The ordering partially extends to the enlarged model in which, whenever the shortest queue is empty, the idle server at that queue helps—or on the contrary disturbs—the other server. The previous bounds remain valid. In the extended setup, different martingales are next built from the infinite capacity process. Those lead to simple explicit formulations of the means and Laplace transforms of the hitting time of saturation, for the process with finite K started from any initial state. Asymptotics are then derived, as K gets large. Using one particular mean time, the stationary blocking probability is explicitly obtained, extending the result by Dester et al. regarding the standard symmetric model. Finally, the joint distribution of the time and state of the system at the first queue-length equality is expressed as a function of the inverse of a simple explicit matrix.

中文翻译：

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对称最短队列模型的 Martingales 和缓冲区溢出

介绍了在加入最短队列策略下的两个并行队列的标准对称系统的变体。这里，最短队列的服务速率为 $$\mu _1$$ ，而最长队列的服务速率为 $$\mu _2$$ ，其中 $$\mu _1 + \mu _2 = 1$$ 。在相等的情况下，两个队列都以 1 / 2 的速率提供服务。每个队列的容量为 K，可能是有限的或无限的，全局泊松到达率为 $$\rho $$ 。耦合表明，随着 $$\mu_2$$ 的变化，模型是完全有序的，就系统中的客户总数 N(t) 和最长队列长度而言。两个极端情况 $$\mu _2= 0$$ 和 $$\mu _2= 1$$ 然后为任意 $$\mu _2$$ 提供 N(t) 的简单随机边界。排序部分扩展到放大模型，其中，只要最短队列为空，该队列中的空闲服务器帮助——或者相反地干扰——另一台服务器。之前的界限仍然有效。在扩展设置中，接下来根据无限容量过程构建不同的鞅。对于从任何初始状态开始的具有有限 K 的过程，这些导致了饱和命中时间的均值和拉普拉斯变换的简单显式公式。随着 K 变大，然后导出渐近线。使用一个特定的平均时间，明确获得平稳阻塞概率，扩展了 Dester 等人的结果。关于标准对称模型。最后，在第一个队列长度相等时系统的时间和状态的联合分布表示为简单显式矩阵的逆函数。在扩展设置中，接下来根据无限容量过程构建不同的鞅。对于从任何初始状态开始的具有有限 K 的过程，这些导致了饱和命中时间的均值和拉普拉斯变换的简单显式公式。随着 K 变大，然后导出渐近线。使用一个特定的平均时间，明确获得平稳阻塞概率，扩展了 Dester 等人的结果。关于标准对称模型。最后，在第一个队列长度相等时系统的时间和状态的联合分布表示为简单显式矩阵的逆函数。在扩展设置中，接下来根据无限容量过程构建不同的鞅。对于从任何初始状态开始的具有有限 K 的过程，这些导致了饱和命中时间的均值和拉普拉斯变换的简单显式公式。随着 K 变大，然后导出渐近线。使用一个特定的平均时间，明确获得平稳阻塞概率，扩展了 Dester 等人的结果。关于标准对称模型。最后，在第一个队列长度相等时系统的时间和状态的联合分布表示为简单显式矩阵的逆函数。对于从任何初始状态开始的具有有限 K 的过程，这些导致了饱和命中时间的均值和拉普拉斯变换的简单显式公式。随着 K 变大，然后导出渐近线。使用一个特定的平均时间，明确获得平稳阻塞概率，扩展了 Dester 等人的结果。关于标准对称模型。最后，在第一个队列长度相等时系统的时间和状态的联合分布表示为简单显式矩阵的逆函数。对于从任何初始状态开始的具有有限 K 的过程，这些导致了饱和命中时间的均值和拉普拉斯变换的简单显式公式。随着 K 变大，然后导出渐近线。使用一个特定的平均时间，明确获得平稳阻塞概率，扩展了 Dester 等人的结果。关于标准对称模型。最后，在第一个队列长度相等时系统的时间和状态的联合分布表示为简单显式矩阵的逆函数。