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Vertex-Flames in Countable Rooted Digraphs Preserving an Erdős-Menger Separation for Each Vertex
Combinatorica ( IF 1.1 ) Pub Date : 2019-12-01 , DOI: 10.1007/s00493-019-3880-z
Attila Joó

It follows from a theorem of Lovasz that if $ D $ is a finite digraph with $ r\in V(D) $ then there is a spanning subdigraph $ E $ of $ D $ such that for every vertex $ v\neq r $ the following quantities are equal: the local connectivity from $ r $ to $ v $ in $ D $, the local connectivity from $ r $ to $ v $ in $ E $ and the indegree of $ v $ in $ E $. In infinite combinatorics cardinality is often an overly rough measure to obtain deep results and it is more fruitful to capture structural properties instead of just equalities between certain quantities. The best known example for such a result is the generalization of Menger's theorem to infinite digraphs. We generalize the result of Lovasz above in this spirit. Our main result is that every countable $ r $-rooted digraph $ D $ has a spanning subdigraph $ E $ with the following property. For every $ v\neq r $, $ E $ contains a system $ \mathcal{R}_v $ of internally disjoint $ r\rightarrow v $ paths such that the ingoing edges of $ v $ in $ E $ are exactly the last edges of the paths in $ \mathcal{R}_v $. Furthermore, the path-system $ \mathcal{R}_v $ is `big' in $ D $ in the Erdős-Menger sense, i.e., one can choose from each path in $ \mathcal{R}_{v} $ either an edge or an internal vertex in such a way that a resulting set separates $ v $ from $ r $ in $ D $.

中文翻译:

为每个顶点保留 Erdős-Menger 分离的可数有根有向图中的顶点火焰

根据 Lovasz 的定理,如果 $ D $ 是一个有 $ r\in V(D) $ 的有限有向图,那么存在 $ D $ 的一个生成子图 $ E $ 使得对于每个顶点 $ v\neq r $以下量是相等的:从 $ r $ 到 $ v $ 的局部连通性,在 $ D $ 中,从 $ r $ 到 $ v $ 的局部连通性,在 $ E $ 中,以及在 $ E $ 中的 $ v $ 的入度。在无限组合学中,基数通常是获得深入结果的过于粗略的衡量标准,并且捕获结构属性而不是某些数量之间的相等性更有成效。这种结果最著名的例子是门格尔定理对无限有向图的推广。我们本着这种精神概括了上述 Lovasz 的结果。我们的主要结果是每个可数 $r $-rooted digraph $ D $ 都有一个具有以下性质的跨越子图 $ E $。对于每个 $ v\neq r $,$ E $ 包含一个系统 $ \mathcal{R}_v $ 的内部不相交 $ r\rightarrow v $ 路径,使得 $ E $ 中的 $ v $ 的入边恰好是最后一个$ \mathcal{R}_v $ 中路径的边缘。此外,路径系统 $\mathcal{R}_v $ 在 Erdős-Menger 意义上的 $D $ 中是“大的”,即,您可以从 $\mathcal{R}_{v} $ 中的每条路径中进行选择一条边或内部顶点,使得结果集将 $ v $ 与 $ D $ 中的 $ r $ 分开。
更新日期:2019-12-01
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