In this paper, we introduce a continuation method for the spatially discretized models, while conserving the size and shape of the cells and lattices. This proposed method is realized using the shift operators and nonlocal operators of convolution types. Through this method and using the shift operator, the nonlinear spatially discretized model on the uniform and nonuniform lattices can be systematically converted into a spatially continuous model; this renders both models point-wisely equivalent. Moreover, by the convolution with suitable kernels, we mollify the shift operator and approximate the spatially discretized models using the nonlocal evolution equations, rendering suitable for the application in both experimental and mathematical analyses. We also demonstrate that this approximation is supported by the singular limit analysis, and that the information of the lattice and cells is expressed in the shift and nonlocal operators. The continuous models designed using our method can successfully replicate the patterns corresponding to those of the original spatially discretized models obtained from the numerical simulations. Furthermore, from the observations of the isotropy of the Delta–Notch signaling system in a developing real fly brain, we propose a radially symmetric kernel for averaging the cell shape using our continuation method. We also apply our method for cell division and proliferation to spatially discretized models of the differentiation wave and describe the discrete models on the sphere surface. Finally, we demonstrate an application of our method in the linear stability analysis of the planar cell polarity model.

在本文中，我们介绍了空间离散模型的延续方法，同时保留了单元格和格子的大小和形状。这种提出的方​​法是使用卷积类型的移位算子和非局部算子实现的。通过这种方法，利用移位算子，可以将均匀和非均匀格子上的非线性空间离散模型系统地转化为空间连续模型；这使得两个模型逐点等效。此外，通过与合适内核的卷积，我们缓和了移位算子并使用非局部演化方程来近似空间离散模型，从而适用于实验和数学分析中的应用。我们还证明了奇异极限分析支持这种近似，并且晶格和单元的信息用移位和非局部算子表示。使用我们的方法设计的连续模型可以成功地复制对应于从数值模拟中获得的原始空间离散模型的模式。此外，根据对发育中的真实苍蝇大脑中 Delta-Notch 信号系统各向同性的观察，我们提出了一个径向对称内核，用于使用我们的延续方法平均细胞形状。我们还将我们的细胞分裂和增殖方法应用于分化波的空间离散模型，并描述球体表面上的离散模型。最后，我们展示了我们的方法在平面单元极性模型的线性稳定性分析中的应用。使用我们的方法设计的连续模型可以成功地复制对应于从数值模拟中获得的原始空间离散模型的模式。此外，根据对发育中的真实苍蝇大脑中 Delta-Notch 信号系统各向同性的观察，我们提出了一个径向对称内核，用于使用我们的延续方法平均细胞形状。我们还将我们的细胞分裂和增殖方法应用于分化波的空间离散模型，并描述球体表面上的离散模型。最后，我们展示了我们的方法在平面单元极性模型的线性稳定性分析中的应用。使用我们的方法设计的连续模型可以成功地复制对应于从数值模拟中获得的原始空间离散模型的模式。此外，根据对发育中的真实果蝇大脑中 Delta-Notch 信号系统各向同性的观察，我们提出了一个径向对称内核，用于使用我们的延续方法平均细胞形状。我们还将我们的细胞分裂和增殖方法应用于分化波的空间离散模型，并描述球体表面上的离散模型。最后，我们展示了我们的方法在平面单元极性模型的线性稳定性分析中的应用。我们提出了一个径向对称内核，用于使用我们的延续方法平均单元格形状。我们还将我们的细胞分裂和增殖方法应用于分化波的空间离散模型，并描述球体表面上的离散模型。最后，我们展示了我们的方法在平面单元极性模型的线性稳定性分析中的应用。我们提出了一个径向对称内核，用于使用我们的延续方法平均单元格形状。我们还将我们的细胞分裂和增殖方法应用于分化波的空间离散模型，并描述球体表面上的离散模型。最后，我们展示了我们的方法在平面单元极性模型的线性稳定性分析中的应用。