A regular language [Formula: see text] is non-returning if in the minimal deterministic finite automaton accepting it there are no transitions into the initial state. Eom, Han and Jirásková derived upper bounds on the state complexity of boolean operations and Kleene star, and proved that these bounds are tight using two different binary witnesses. They derived tight upper bounds for concatenation and reversal using three different ternary witnesses. These five witnesses use a total of six different transformations. We show that for each [Formula: see text], there exists a ternary witness of state complexity [Formula: see text] that meets the bound for reversal, and restrictions of this witness to binary alphabets meet the bounds for star, product, and boolean operations. Hence all of these operations can be handled simultaneously with a single witness, using only three different transformations. We also derive tight upper bounds on the state complexity of binary operations that take arguments with different alphabets. We prove that the maximal syntactic semigroup of a non-returning language has [Formula: see text] elements and requires at least [Formula: see text] generators. We find the maximal state complexities of atoms of non-returning languages. We show that there exists a most complex sequence of non-returning languages that meet the bounds for all of these complexity measures. Furthermore, we prove there is a most complex sequence that meets all the bounds using alphabets of minimal size.

中文翻译：

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最复杂的非返回正则语言

如果在接受它的最小确定性有限自动机中没有过渡到初始状态，则常规语言 [公式：参见文本] 是不返回的。Eom、Han 和 Jirásková 推导出布尔运算和 Kleene 星的状态复杂度的上限，并使用两个不同的二元见证证明了这些界限是严格的。他们使用三个不同的三元见证推导出连接和反转的严格上限。这五个见证人总共使用了六种不同的转换。我们表明，对于每个 [公式：见文本]，存在一个满足反转界限的状态复杂性 [公式：见文本] 的三元见证，并且此见证对二进制字母的限制符合星号、乘积和布尔运算。因此，所有这些操作都可以通过一个见证人同时处理，只使用三种不同的转换。我们还推导出二进制操作的状态复杂性的严格上限，这些操作采用不同字母表的参数。我们证明了不返回语言的最大句法半群具有 [Formula: see text] 元素并且至少需要 [Formula: see text] 生成器。我们发现了非返回语言原子的最大状态复杂度。我们表明，存在一个最复杂的非返回语言序列，它们满足所有这些复杂性度量的界限。此外，我们证明存在一个最复杂的序列，它使用最小大小的字母满足所有边界。我们还推导出二进制操作的状态复杂性的严格上限，这些操作采用不同字母表的参数。我们证明了不返回语言的最大句法半群具有 [Formula: see text] 元素并且至少需要 [Formula: see text] 生成器。我们发现了非返回语言原子的最大状态复杂度。我们表明，存在一个最复杂的非返回语言序列，它们满足所有这些复杂性度量的界限。此外，我们证明存在一个最复杂的序列，它使用最小大小的字母满足所有边界。我们还推导出二进制操作的状态复杂性的严格上限，这些操作采用不同字母表的参数。我们证明了不返回语言的最大句法半群具有 [Formula: see text] 元素并且至少需要 [Formula: see text] 生成器。我们发现了非返回语言原子的最大状态复杂度。我们表明，存在一个最复杂的非返回语言序列，它们满足所有这些复杂性度量的界限。此外，我们证明存在一个最复杂的序列，它使用最小大小的字母满足所有边界。我们发现了非返回语言原子的最大状态复杂度。我们表明，存在一个最复杂的非返回语言序列，它们满足所有这些复杂性度量的界限。此外，我们证明存在一个最复杂的序列，它使用最小大小的字母满足所有边界。我们发现了非返回语言原子的最大状态复杂度。我们表明，存在一个最复杂的非返回语言序列，它们满足所有这些复杂性度量的界限。此外，我们证明存在一个最复杂的序列，它使用最小大小的字母满足所有边界。