We resume the study initiated in [R. Crétois and L. Lang, The vanishing cycles of curves in toric surfaces, I, preprint (2017), arXiv:1701.00608]. For a generic curve [Formula: see text] in an ample linear system [Formula: see text] on a toric surface [Formula: see text], a vanishing cycle of [Formula: see text] is an isotopy class of simple closed curve that can be contracted to a point along a degeneration of [Formula: see text] to a nodal curve in [Formula: see text]. The obstructions that prevent a simple closed curve in [Formula: see text] from being a vanishing cycle are encoded by the adjoint line bundle [Formula: see text]. In this paper, we consider the linear systems carrying the two simplest types of obstruction. Geometrically, these obstructions manifest on [Formula: see text] respectively as an hyperelliptic involution and as a spin structure. In both cases, we determine all the vanishing cycles by investigating the associated monodromy maps, whose target space is the mapping class group [Formula: see text]. We show that the image of the monodromy is the subgroup of [Formula: see text] preserving respectively the hyperelliptic involution and the spin structure. The results obtained here support Conjecture [Formula: see text] in [R. Crétois and L. Lang, The vanishing cycles of curves in toric surfaces, I, preprint (2017), arXiv:1701.00608] aiming to describe all the vanishing cycles for any pair [Formula: see text].

中文翻译：

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复曲面中曲线的消失循环 II

我们恢复在 [R. Crétois 和 L. Lang，复曲面中曲线的消失周期，I，预印本 (2017)，arXiv:1701.00608]。对于复曲面[公式：见文本]上的宽泛线性系统[公式：见文本]中的通用曲线[公式：见文本]，[公式：见文本]的消失循环是简单闭合曲线的同位素类可以沿着[公式：参见文本]的退化到[公式：参见文本]中的节点曲线收缩到一个点。阻止[公式：参见文本]中的简单闭合曲线成为消失循环的障碍物由伴随线束[公式：参见文本]编码。在本文中，我们考虑了携带两种最简单类型障碍物的线性系统。从几何上看，这些障碍体现在 [公式：见正文]分别作为超椭圆对合和自旋结构。在这两种情况下，我们通过调查相关的单调映射来确定所有的消失循环，其目标空间是映射类组[公式：见文本]。我们证明单调的图像是[公式：见正文]的子群，分别保留超椭圆对合和自旋结构。这里得到的结果支持[R. Crétois 和 L. Lang，复曲面中曲线的消失周期，I，预印本 (2017)，arXiv:1701.00608] 旨在描述任何对的所有消失周期 [公式：见正文]。我们证明单调的图像是[公式：见正文]的子群，分别保留超椭圆对合和自旋结构。这里得到的结果支持[R. Crétois 和 L. Lang，复曲面中曲线的消失周期，I，预印本 (2017)，arXiv:1701.00608] 旨在描述任何对的所有消失周期 [公式：见正文]。我们证明单调的图像是[公式：见正文]的子群，分别保留超椭圆对合和自旋结构。这里得到的结果支持[R. Crétois 和 L. Lang，复曲面中曲线的消失周期，I，预印本 (2017)，arXiv:1701.00608] 旨在描述任何对的所有消失周期 [公式：见正文]。