The p-median problem on general networks has been studied since the 1960s. Kariv and Hakimi [10] showed that this problem is NP-hard even if the network is a planar graph of maximum degree 3. In the case of tree networks the p-median problem is solvable in polynomial time. Kariv and Hakimi [10] developed an algorithm that computes a solution in O(pn) time. The running time was improved to O(pn) by Tamir [16] and later to O(n lg n) by Benkoczi and Bhattacharya [2]. Better bounds are known for the special cases (on trees) where p = 1 or 2. Goldman [6] gave an O(n) algorithm for the 1-median problem on trees. The 2-median problem was studied by Mirchandani and Oudjit [11], whose localization properties were later used to improve the O(n) bound (derived from the general tree case) to O(n lgn) – see papers by Hämäläinen [9] and Gavish and Sridhar [5]. We present a framework for solving the 2-median problem on trees, building on earlier work. Our framework leads to several algorithms with o(n lgn) runtime, i.e., better than the current best-known O(n lgn) runtime, in common special cases. The time bounds are: (i) O(n lgwmax/ lgn), where wmax is the largest largest node weight, which is linear when node weights are bounded by a polynomial in n; (ii) O(n lgnL), where nL is the number of leaves in in the tree; (iii) O(ndmax), where dmax is the maximum edge length, which is linear when edge lengths are bounded by a constant; and (iv) O(n lg `), where ` is the number of nodes on the trunk, an easily identified path that is guaranteed to contain at least one of the two medians.

中文翻译：

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用于查找树的 2-中值的有效算法

自 1960 年代以来，人们一直在研究一般网络上的 p 中值问题。Kariv 和 Hakimi [10] 表明，即使网络是最大度数为 3 的平面图，这个问题也是 NP-hard 问题。在树网络的情况下，p 中值问题可以在多项式时间内解决。Kariv 和 Hakimi [10] 开发了一种算法，可以在 O(pn) 时间内计算解决方案。运行时间由 Tamir [16] 改进为 O(pn)，后来由 Benkoczi 和 Bhattacharya [2] 改进为 O(n lg n)。对于 p = 1 或 2 的特殊情况（在树上），已知更好的边界。Goldman [6] 为树上的 1 中值问题提供了 O(n) 算法。Mirchandani 和 Oudjit [11] 研究了 2-median 问题，他们的定位特性后来被用来将 O(n) 界限（从一般树情况导出）改进为 O(n lgn)——参见 Hämäläinen 的论文 [9] ] 和 Gavish 和 Sridhar [5]。我们提出了一个框架来解决树上的 2 中值问题，建立在早期工作的基础上。我们的框架导致了几种运行时间为 o(n lgn) 的算法，即在常见的特殊情况下，比当前最著名的 O(n lgn) 运行时间更好。时间界限为： (i) O(n lgwmax/ lgn)，其中 wmax 是最大的最大节点权重，当节点权重以 n 中的多项式为界时是线性的；(ii) O(n lgnL)，其中 nL 是树中的叶子数；(iii) O(ndmax)，其中 dmax 是最大边长，当边长以常数为界时，它是线性的；(iv) O(n lg `)，其中`是主干上的节点数，这是一条易于识别的路径，保证至少包含两个中值之一。我们的框架导致了几种运行时间为 o(n lgn) 的算法，即在常见的特殊情况下，比当前最著名的 O(n lgn) 运行时间更好。时间界限为： (i) O(n lgwmax/ lgn)，其中 wmax 是最大的最大节点权重，当节点权重以 n 中的多项式为界时是线性的；(ii) O(n lgnL)，其中 nL 是树中的叶子数；(iii) O(ndmax)，其中 dmax 是最大边长，当边长以常数为界时，它是线性的；(iv) O(n lg `)，其中`是主干上的节点数，这是一条易于识别的路径，保证至少包含两个中值之一。我们的框架导致了几种运行时间为 o(n lgn) 的算法，即在常见的特殊情况下，比当前最著名的 O(n lgn) 运行时间更好。时间界限为： (i) O(n lgwmax/ lgn)，其中 wmax 是最大的最大节点权重，当节点权重以 n 中的多项式为界时是线性的；(ii) O(n lgnL)，其中 nL 是树中的叶子数；(iii) O(ndmax)，其中 dmax 是最大边长，当边长以常数为界时，它是线性的；(iv) O(n lg `)，其中`是主干上的节点数，这是一条易于识别的路径，保证至少包含两个中值之一。当节点权重以 n 中的多项式为界时，它是线性的；(ii) O(n lgnL)，其中 nL 是树中的叶子数；(iii) O(ndmax)，其中 dmax 是最大边长，当边长以常数为界时，它是线性的；(iv) O(n lg `)，其中`是主干上的节点数，这是一条易于识别的路径，保证至少包含两个中值之一。当节点权重以 n 中的多项式为界时，它是线性的；(ii) O(n lgnL)，其中 nL 是树中的叶子数；(iii) O(ndmax)，其中 dmax 是最大边长，当边长以常数为界时，它是线性的；(iv) O(n lg `)，其中`是主干上的节点数，这是一条易于识别的路径，保证至少包含两个中值之一。