In a compact geodesic metric space of topological dimension one, the minimal length of a loop in a free homotopy class is well-defined, and provides a function [Formula: see text] (the value [Formula: see text] being assigned to loops which are not freely homotopic to any rectifiable loops). This function is the marked length spectrum. We introduce a subset [Formula: see text], which is the union of all non-constant minimal loops of finite length. We show that if [Formula: see text] is a compact, non-contractible, geodesic space of topological dimension one, then [Formula: see text] deformation retracts to [Formula: see text]. Moreover, [Formula: see text] can be characterized as the minimal subset of [Formula: see text] to which [Formula: see text] deformation retracts. Let [Formula: see text] be a pair of compact, non-contractible, geodesic metric spaces of topological dimension one, and set [Formula: see text]. We prove that any isomorphism [Formula: see text] satisfying [Formula: see text], forces the existence of an isometry [Formula: see text] which induces the map [Formula: see text] on the level of fundamental groups. Thus, for compact, non-contractible, geodesic spaces of topological dimension one, the marked length spectrum completely determines the subset [Formula: see text] up to isometry.

中文翻译：

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一维空间的标记长度刚度

在拓扑维数为 1 的紧凑测地线度量空间中，自由同伦类中的环的最小长度是明确定义的，并提供函数 [Formula: see text]（将值 [Formula: see text] 分配给环它们不是任何可整流环的自由同伦）。这个函数就是标记的长度谱。我们引入了一个子集[公式：见正文]，它是所有有限长度的非常量最小循环的并集。我们证明，如果 [公式：见文本] 是一个紧凑的、不可收缩的、拓扑维数为 1 的测地线空间，那么 [公式：见文本] 变形会收缩到 [公式：见文本]。此外，[公式：见文本]可以表征为[公式：见文本]变形缩回的[公式：见文本]的最小子集。令 [公式：见正文] 是一对紧致的、不可收缩的，拓扑维度一的测地线度量空间，并设置[公式：见正文]。我们证明任何满足[公式：参见文本]的同构[公式：参见文本]，迫使存在等距[公式：参见文本]，它在基本群的水平上诱导映射[公式：参见文本]。因此，对于拓扑维数为 1 的紧凑、不可收缩的测地线空间，标记的长度谱完全确定了直到等距的子集 [公式：参见文本]。