For the family of polynomials in one variable $P:=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$, $n\ge 4$, we consider its higher-order discriminant sets $\{{\tilde{D}}_m=0\}$, where ${\tilde{D}}_m:=\mathrm{Res}(P,P^{(m)})$, $m=2$, …, $n-2$, and their projections in the spaces of the variables $a^k:=(a_1,\dots ,a_{k-1},a_{k+1},\dots ,a_n)$. Set $P^{(m)}:={\sum }_{j=0}^{n-m}{c}_j{a}_j{x}^{n-m-j}$, $P_{m,k}:=c_{k}P-x^m{P}^{(m)}$. We show that $\mathrm{Res}({\tilde{D}}_m,\partial {\tilde{D}}_m/\partial a_k,a_k)=A_{m,k}{B}_{m,k}{C}_{m,k}^2$, where $A_{m,k}=a_n^{n-m-k}$, $B_{m,k}=\mathrm{Res}(P_{m,k},P_{m,k}^{\prime })$ if $1\le k\le n-m$ and $A_{m,k}=a_{n-m}^{n-k}$, $B_{m,k}=\mathrm{Res}(P^{(m)},P^{(m+1)})$ if $n-m+1\le k\le n$. The equation $C_{m,k}=0$ defines the projection in the space of the variables $a^k$ of the closure of the set of values of $(a_1,\dots ,a_n)$ for which P and $P^{(m)}$ have two distinct roots in common. The polynomials $B_{m,k},C_{m,k}\in \mathbb{C}[a^k]$ are irreducible. The result is generalized to the case when $P^{(m)}$ is replaced by a polynomial $P_{⁎}:={\sum }_{j=0}^{n-m}{b}_j{a}_j{x}^{n-m-j}$, $0\ne b_i\ne b_j\ne 0$ for $i\ne j$.

对于一个变量中的多项式族 $P：=X^{ñ}+{\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}{X}^{ñ-\mathrm{1个}}+\cdots +{\mathrm{一种}}_{ñ}$， $ñ\ge 4$，我们考虑其高阶判别集 $\{{\stackrel{〜}{d}}_{米}=0\}$，在哪里 ${\stackrel{〜}{d}}_{米}：=\mathrm{水库}（P，P^{（米）}）$， $米=2$，…， $ñ-2$，以及它们在变量空间中的投影 ${\mathrm{一种}}^{ķ}：=（{\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\mathrm{一种}}_{ķ-\mathrm{1个}}，{\mathrm{一种}}_{ķ+\mathrm{1个}}，\dots ，{\mathrm{一种}}_{ñ}）$。组$P^{（米）}：={\sum }_{Ĵ=0}^{ñ-米}{C}_{Ĵ}{\mathrm{一种}}_{Ĵ}{X}^{ñ-米-Ĵ}$， $P_{米，ķ}：=C_{ķ}P-X^{米}{P}^{（米）}$。我们证明$\mathrm{水库}（{\stackrel{〜}{d}}_{米}，\partial {\stackrel{〜}{d}}_{米}/\partial {\mathrm{一种}}_{ķ}，{\mathrm{一种}}_{ķ}）={\mathrm{一种}}_{米，ķ}{乙}_{米，ķ}{C}_{米，ķ}^2$，在哪里 ${\mathrm{一种}}_{米，ķ}={\mathrm{一种}}_{ñ}^{ñ-米-ķ}$， ${乙}_{米，ķ}=\mathrm{水库}（P_{米，ķ}，P_{米，ķ}^{\prime }）$ 如果 $\mathrm{1个}\le ķ\le ñ-米$ 和 ${\mathrm{一种}}_{米，ķ}={\mathrm{一种}}_{ñ-米}^{ñ-ķ}$， ${乙}_{米，ķ}=\mathrm{水库}（P^{（米）}，P^{（米+\mathrm{1个}）}）$ 如果 $ñ-米+\mathrm{1个}\le ķ\le ñ$。等式$C_{米，ķ}=0$ 定义变量空间中的投影 ${\mathrm{一种}}^{ķ}$ 的一组值的闭合 $（{\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\mathrm{一种}}_{ñ}）$其中P和$P^{（米）}$有两个不同的共同点。多项式${乙}_{米，ķ}，C_{米，ķ}\in \mathbb{C}[{\mathrm{一种}}^{ķ}]$不可约。结果推广到以下情况$P^{（米）}$ 被多项式代替 $P_{⁎}：={\sum }_{Ĵ=0}^{ñ-米}{b}_{Ĵ}{\mathrm{一种}}_{Ĵ}{X}^{ñ-米-Ĵ}$， $0\ne b_{\mathrm{一世}}\ne b_{Ĵ}\ne 0$ 对于 $\mathrm{一世}\ne Ĵ$。