This article is devoted to the study of the dynamical behavior of a collisionless kinetic gas in d=1,2,3 space dimensions which is trapped in a rotationally symmetric potential well. Although at the microscopic level the trajectories of individual gas particles are quasi-periodic and characterized by their d fundamental frequencies, at the macroscopic level the gas relaxes in time to a stationary state, provided the potential satisfies a certain non-degeneracy condition. In this article, we provide a mathematically precise formulation for this relaxation process which is due to phase space mixing. In particular, we prove that a physically relevant class of macroscopic observables computed from the one-particle distribution function, such as particle and energy densities, pressure and stress tensors, converge in time to the corresponding observables associated with an averaged distribution function. The latter can be determined from the initial datum and depends only on integrals of motion. Thus, the final state of the gas is described by an effective distribution function depending only on integrals of motion, which considerably reduces the degrees of freedom of the gas configuration. We discuss some applications to gravitational physics, including the propagation of a collisionless gas in typical potentials arising in stellar dynamics and the modeling of dark matter halos, and we also generalize our results to a relativistic gas whose individual particles follow bound timelike trajectories in the exterior region of a static, spherically symmetric black hole spacetime.

中文翻译：

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外部引力中心势中的相空间混合

本文致力于研究被困在旋转对称势阱中的无碰撞动力气体在 d=1,2,3 空间维度上的动力学行为。尽管在微观水平上，单个气体粒子的轨迹是准周期性的，并以它们的 d 个基频为特征，但在宏观水平上，只要电势满足一定的非简并条件，气体就会及时弛豫到静止状态。在本文中，我们为这种由于相空间混合引起的弛豫过程提供了数学上精确的公式。特别是，我们证明了从单粒子分布函数计算出的一类物理相关的宏观观测值，例如粒子和能量密度、压力和应力张量，在时间上收敛到与平均分布函数相关的相应可观察量。后者可以从初始数据确定并且仅取决于运动积分。因此，气体的最终状态由仅取决于运动积分的有效分布函数描述，这大大降低了气体配置的自由度。我们讨论了引力物理学的一些应用，包括无碰撞气体在恒星动力学中产生的典型势中的传播和暗物质晕的建模，我们还将我们的结果推广到相对论气体，其单个粒子在外部遵循约束类时轨迹静态、球对称黑洞时空的区域。后者可以从初始数据确定并且仅取决于运动积分。因此，气体的最终状态由仅取决于运动积分的有效分布函数描述，这大大降低了气体配置的自由度。我们讨论了引力物理学的一些应用，包括无碰撞气体在恒星动力学中产生的典型势中的传播和暗物质晕的建模，我们还将我们的结果推广到相对论气体，其单个粒子在外部遵循约束类时轨迹静态、球对称黑洞时空的区域。后者可以从初始数据确定并且仅取决于运动积分。因此，气体的最终状态由仅取决于运动积分的有效分布函数描述，这大大降低了气体配置的自由度。我们讨论了引力物理学的一些应用，包括无碰撞气体在恒星动力学中产生的典型势中的传播和暗物质晕的建模，我们还将我们的结果推广到相对论气体，其单个粒子在外部遵循束缚的类时轨迹静态、球对称黑洞时空的区域。气体的最终状态由仅取决于运动积分的有效分布函数描述，这大大降低了气体配置的自由度。我们讨论了引力物理学的一些应用，包括无碰撞气体在恒星动力学中产生的典型势中的传播和暗物质晕的建模，我们还将我们的结果推广到相对论气体，其单个粒子在外部遵循束缚的类时轨迹静态、球对称黑洞时空的区域。气体的最终状态由仅取决于运动积分的有效分布函数描述，这大大降低了气体配置的自由度。我们讨论了引力物理学的一些应用，包括无碰撞气体在恒星动力学中产生的典型势中的传播和暗物质晕的建模，我们还将我们的结果推广到相对论气体，其单个粒子在外部遵循束缚的类时轨迹静态、球对称黑洞时空的区域。