We introduce and study a discrete multi-period extension of the classical knapsack problem, dubbed generalized incremental knapsack. In this setting, we are given a set of $n$ items, each associated with a non-negative weight, and $T$ time periods with non-decreasing capacities $W_1 \leq \dots \leq W_T$. When item $i$ is inserted at time $t$, we gain a profit of $p_{it}$; however, this item remains in the knapsack for all subsequent periods. The goal is to decide if and when to insert each item, subject to the time-dependent capacity constraints, with the objective of maximizing our total profit. Interestingly, this setting subsumes as special cases a number of recently-studied incremental knapsack problems, all known to be strongly NP-hard. Our first contribution comes in the form of a polynomial-time $(\frac{1}{2}-\epsilon)$-approximation for the generalized incremental knapsack problem. This result is based on a reformulation as a single-machine sequencing problem, which is addressed by blending dynamic programming techniques and the classical Shmoys-Tardos algorithm for the generalized assignment problem. Combined with further enumeration-based self-reinforcing ideas and newly-revealed structural properties of nearly-optimal solutions, we turn our basic algorithm into a quasi-polynomial time approximation scheme (QPTAS). Hence, under widely believed complexity assumptions, this finding rules out the possibility that generalized incremental knapsack is APX-hard.

中文翻译：

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广义增量背包问题的近似算法

我们介绍并研究了经典背包问题的离散多周期扩展，称为广义增量背包。在这个设置中，我们得到一组 $n$ 项，每个项都与一个非负权重相关联，以及 $T$ 时间段的容量不减少 $W_1 \leq \dots \leq W_T$。当项目 $i$ 在时间 $t$ 插入时，我们获得 $p_{it}$ 的利润；但是，此物品在以后的所有时期都保留在背包中。目标是决定是否以及何时插入每个项目，受时间相关的容量限制，以最大化我们的总利润为目标。有趣的是，这个设置包含了一些最近研究的增量背包问题的特殊情况，所有这些问题都被认为是强 NP-hard 问题。我们的第一个贡献来自广义增量背包问题的多项式时间 $(\frac{1}{2}-\epsilon)$-近似值。该结果基于作为单机排序问题的重构，该问题通过混合动态规划技术和用于广义分配问题的经典 Shmoys-Tardos 算法来解决。结合进一步基于枚举的自强化思想和新近揭示的近最优解的结构特性，我们将基本算法转化为准多项式时间近似方案（QPTAS）。因此，在广泛认为的复杂性假设下，这一发现排除了广义增量背包是 APX-hard 的可能性。该结果基于作为单机排序问题的重构，该问题通过混合动态规划技术和用于广义分配问题的经典 Shmoys-Tardos 算法来解决。结合进一步基于枚举的自强化思想和新近揭示的近最优解的结构特性，我们将基本算法转化为准多项式时间近似方案（QPTAS）。因此，在广泛认为的复杂性假设下，这一发现排除了广义增量背包是 APX-hard 的可能性。该结果基于作为单机排序问题的重新表述，该问题通过混合动态规划技术和用于广义分配问题的经典 Shmoys-Tardos 算法来解决。结合进一步基于枚举的自强化思想和新近揭示的近最优解的结构特性，我们将我们的基本算法转化为准多项式时间近似方案（QPTAS）。因此，在广泛认为的复杂性假设下，这一发现排除了广义增量背包是 APX-hard 的可能性。结合进一步基于枚举的自强化思想和新近揭示的近最优解的结构特性，我们将基本算法转化为准多项式时间近似方案（QPTAS）。因此，在广泛认为的复杂性假设下，这一发现排除了广义增量背包是 APX-hard 的可能性。结合进一步基于枚举的自强化思想和新近揭示的近最优解的结构特性，我们将我们的基本算法转化为准多项式时间近似方案（QPTAS）。因此，在广泛认为的复杂性假设下，这一发现排除了广义增量背包是 APX-hard 的可能性。