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Pompeiu’s Theorem and the Moduli Space of Triangles
Results in Mathematics ( IF 2.2 ) Pub Date : 2020-09-16 , DOI: 10.1007/s00025-020-01271-8 Jun O’Hara
Results in Mathematics ( IF 2.2 ) Pub Date : 2020-09-16 , DOI: 10.1007/s00025-020-01271-8 Jun O’Hara
We introduce a kind of converse of Pompeiu's theorem. Fix an equilateral triangle $\triangle A_0B_0C_0$, then for any triangle $\triangle ABC$ there is a unique point $P$ inside the circumcircle $\Gamma_0$ of $\triangle A_0B_0C_0$ such that a triangle with edge lengths $PA_0, PB_0$, and $PC_0$ is similar to $\triangle ABC$. It follows that an open disc inside $\Gamma_0$ can be considered as a moduli space of similarity classes of triangles. We show that it is essentially equivalent to another moduli space based on a shape function of triangles which has been used in preceding studies.
中文翻译:
庞培定理和三角形的模空间
我们介绍一种庞培定理的逆定理。固定一个等边三角形$\triangle A_0B_0C_0$,那么对于任何三角形$\triangle ABC$,在$\triangle A_0B_0C_0$的外接圆$\Gamma_0$内都有一个唯一的点$P$,使得三角形的边长为$PA_0, PB_0$ 和 $PC_0$ 类似于 $\triangle ABC$。因此,$\Gamma_0$ 内的开盘可以被认为是三角形相似类的模空间。我们表明,它本质上等同于另一个基于三角形形状函数的模空间,三角形的形状函数已在先前的研究中使用过。
更新日期:2020-09-16
中文翻译:
庞培定理和三角形的模空间
我们介绍一种庞培定理的逆定理。固定一个等边三角形$\triangle A_0B_0C_0$,那么对于任何三角形$\triangle ABC$,在$\triangle A_0B_0C_0$的外接圆$\Gamma_0$内都有一个唯一的点$P$,使得三角形的边长为$PA_0, PB_0$ 和 $PC_0$ 类似于 $\triangle ABC$。因此,$\Gamma_0$ 内的开盘可以被认为是三角形相似类的模空间。我们表明,它本质上等同于另一个基于三角形形状函数的模空间,三角形的形状函数已在先前的研究中使用过。