Describing complex objects as the composition of elementary ones is a common strategy in computer science and science in general. This paper contributes to the foundations of knowledge representation and database theory by introducing and studying the sequential composition of propositional Horn theories. Specifically, we show that the notion of composition gives rise to a family of monoids and near-semirings, which we will call {\em Horn monoids} and {\em Horn near-semirings} in this paper. Particularly, we show that the combination of sequential composition and union yields the structure of a finite idempotent near-semiring. We also show that the restricted class of proper propositional Krom-Horn theories, which only contain rules with exactly one body atom, yields a finite idempotent semiring. On the semantic side, we show that the immediate consequence or van Emden-Kowalski operator of a theory can be represented via composition, which allows us to compute its least model semantics without any explicit reference to operators. This bridges the conceptual gap between the syntax and semantics of a propositional Horn theory in a mathematically satisfactory way. Moreover, it gives rise to an algebraic meta-calculus for propositional Horn theories. In a broader sense, this paper is a first step towards an algebra of rule-based logical theories and in the future we plan to adapt and generalize the methods of this paper to wider classes of theories, most importantly to first-, and higher-order logic programs, and non-monotonic logic programs under the stable model or answer set semantics and extensions thereof.

中文翻译：

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有限角幺半群和近半群

将复杂对象描述为基本对象的组合是计算机科学和一般科学中的常见策略。本文通过介绍和研究命题 Horn 理论的序列组成，为知识表示和数据库理论的基础做出了贡献。具体来说，我们证明了合成的概念产生了一个幺半群和近半环，在本文中我们将其称为 {\em Horn monoids} 和 {\em Horn Near-semirings}。特别是，我们证明了顺序组合和联合的组合产生了有限幂等近半环的结构。我们还表明，限制类的真命题 Krom-Horn 理论只包含具有恰好一个体原子的规则，产生了一个有限幂等半环。在语义方面，我们证明了一个理论的直接结果或 van Emden-Kowalski 算子可以通过组合表示，这使我们能够计算其最少的模型语义，而无需任何对算子的明确引用。这以数学上令人满意的方式弥合了命题 Horn 理论的句法和语义之间的概念鸿沟。此外，它产生了命题霍恩理论的代数元演算。从更广泛的意义上讲，本文是基于规则的逻辑理论代数的第一步，未来我们计划将本文的方法适应和推广到更广泛的理论类别，最重要的是首先和更高的理论。顺序逻辑程序，稳定模型下的非单调逻辑程序或答案集语义及其扩展。这允许我们计算其最少的模型语义，而无需任何对运算符的显式引用。这以数学上令人满意的方式弥合了命题 Horn 理论的句法和语义之间的概念鸿沟。此外，它产生了命题霍恩理论的代数元演算。从更广泛的意义上讲，本文是基于规则的逻辑理论代数的第一步，未来我们计划将本文的方法适应和推广到更广泛的理论类别，最重要的是首先和更高的理论。顺序逻辑程序，稳定模型下的非单调逻辑程序或答案集语义及其扩展。这允许我们计算其最少的模型语义，而无需任何对运算符的显式引用。这以数学上令人满意的方式弥合了命题 Horn 理论的句法和语义之间的概念鸿沟。此外，它产生了命题霍恩理论的代数元演算。从更广泛的意义上讲，本文是基于规则的逻辑理论代数的第一步，未来我们计划将本文的方法适应和推广到更广泛的理论类别，最重要的是首先和更高的理论。顺序逻辑程序，稳定模型下的非单调逻辑程序或答案集语义及其扩展。这以数学上令人满意的方式弥合了命题 Horn 理论的句法和语义之间的概念鸿沟。此外，它产生了命题霍恩理论的代数元演算。从更广泛的意义上讲，本文是基于规则的逻辑理论代数的第一步，未来我们计划将本文的方法适应和推广到更广泛的理论类别，最重要的是首先和更高的理论。顺序逻辑程序，稳定模型下的非单调逻辑程序或答案集语义及其扩展。这以数学上令人满意的方式弥合了命题 Horn 理论的句法和语义之间的概念鸿沟。此外，它产生了命题霍恩理论的代数元演算。从更广泛的意义上讲，本文是基于规则的逻辑理论代数的第一步，未来我们计划将本文的方法适应和推广到更广泛的理论类别，最重要的是首先和更高的理论。顺序逻辑程序，稳定模型下的非单调逻辑程序或答案集语义及其扩展。