The study of fault-tolerant data structures for various network design problems is a prominent area of research in computer science. Likewise, the study of NP-Complete problems lies at the heart of computer science with numerous results in algorithms and complexity. In this paper we raise the question of computing fault tolerant solutions to NP-Complete problems; that is computing a solution that can survive the "failure" of a few constituent elements. This notion has appeared in a variety of theoretical and practical settings such as estimating network reliability, kernelization (aka instance compression), approximation algorithms and so on. In this paper, we seek to highlight these questions for further research. As a concrete example, we study the fault-tolerant version of the classical Feedback Vertex Set (FVS) problem, that we call Fault Tolerant Feedback Vertex Set (FT-FVS). Recall that, in FVS the input is a graph $G$ and the objective is to compute a minimum subset of vertices $S$ such that $G-S$ is a forest. In FT-FVS, the objective is to compute a minimum subset $S$ of vertices such that $G - (S \setminus \{v\})$ is a forest for any $v \in V(G)$. Here the vertex $v$ denotes a single vertex fault. We show that this problem is NP-Complete, and then present a constant factor approximation algorithm as well as an FPT-algorithm parameterized by the solution size. We believe that the question of computing fault tolerant solutions to various NP-Complete problems is an interesting direction for future research.

中文翻译：

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关于容错反馈顶点集

针对各种网络设计问题的容错数据结构的研究是计算机科学的一个突出研究领域。同样，对 NP-Complete 问题的研究是计算机科学的核心，在算法和复杂性方面有许多结果。在本文中，我们提出了计算 NP-Complete 问题的容错解决方案的问题；那就是计算一个可以在几个组成元素的“失败”中幸存下来的解决方案。这个概念已经出现在各种理论和实践环境中，例如估计网络可靠性、核化（又名实例压缩）、近似算法等。在本文中，我们试图强调这些问题以供进一步研究。作为一个具体的例子，我们研究了经典反馈顶点集（FVS）问题的容错版本，我们称之为容错反馈顶点集（FT-FVS）。回想一下，在 FVS 中，输入是图 $G$，目标是计算顶点 $S$ 的最小子集，使得 $GS$ 是森林。在 FT-FVS 中，目标是计算顶点的最小子集 $S$，使得 $G - (S \setminus \{v\})$ 是任何 $v \in V(G)$ 的森林。这里顶点 $v$ 表示单个顶点故障。我们证明这个问题是 NP-Complete，然后提出一个常数因子近似算法以及一个由解决方案大小参数化的 FPT 算法。我们认为，计算各种 NP-Complete 问题的容错解决方案的问题是未来研究的一个有趣方向。在 FVS 中，输入是一个图 $G$，目标是计算顶点 $S$ 的最小子集，使得 $GS$ 是一个森林。在 FT-FVS 中，目标是计算顶点的最小子集 $S$，使得 $G - (S \setminus \{v\})$ 是任何 $v \in V(G)$ 的森林。这里顶点 $v$ 表示单个顶点故障。我们证明这个问题是 NP-Complete，然后提出一个常数因子近似算法以及一个由解决方案大小参数化的 FPT 算法。我们认为，计算各种 NP-Complete 问题的容错解决方案的问题是未来研究的一个有趣方向。在 FVS 中，输入是一个图 $G$，目标是计算顶点 $S$ 的最小子集，使得 $GS$ 是一个森林。在 FT-FVS 中，目标是计算顶点的最小子集 $S$，使得 $G - (S \setminus \{v\})$ 是任何 $v \in V(G)$ 的森林。这里顶点 $v$ 表示单个顶点故障。我们证明这个问题是 NP-Complete，然后提出一个常数因子近似算法以及一个由解决方案大小参数化的 FPT 算法。我们认为，计算各种 NP-Complete 问题的容错解决方案的问题是未来研究的一个有趣方向。我们证明这个问题是 NP-Complete，然后提出一个常数因子近似算法以及一个由解决方案大小参数化的 FPT 算法。我们认为，计算各种 NP-Complete 问题的容错解决方案的问题是未来研究的一个有趣方向。我们证明这个问题是 NP-Complete，然后提出一个常数因子近似算法以及一个由解决方案大小参数化的 FPT 算法。我们认为，计算各种 NP-Complete 问题的容错解决方案的问题是未来研究的一个有趣方向。