This paper deals with a problem of production planning, which is a version of the capacitated single-item lot sizing problem with backordering under demand uncertainty, modeled by uncertain cumulative demands. The well-known interval budgeted uncertainty representation is assumed. Two of its variants are considered. The first one is the discrete budgeted uncertainty, in which at most a specified number of cumulative demands can deviate from their nominal values at the same time.The second variant is the continuous budgeted uncertainty, in which the sum of the deviations of cumulative demands from their nominal values, at the same time, is at most a bound on the total deviation provided. For both cases, in order to choose a production plan that hedges against the cumulative demand uncertainty, the robust minmax criterion is used. Polynomial algorithms for evaluating the impact of uncertainty in the demand on a given production plan in terms of its cost, called the adversarial problem, and for finding robust production plans under the discrete budgeted uncertainty are constructed. Hence, in this case, the problems under consideration are not much computationally harder than their deterministic counterparts. For the continuous budgeted uncertainty, it is shown that the adversarial problem and the problem of computing a robust production plan along with its worst-case cost are NP-hard. In the case, when uncertainty intervals are non-overlapping, they can be solved in pseudopolynomial time and admit fully polynomial timeapproximation schemes. In the general case, a decomposition algorithm for finding a robust plan is proposed.

中文翻译：

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具有预算累积需求不确定性的稳健生产计划

本文处理了生产计划问题，它是有能力的单项批量调整问题的一个版本，在需求不确定的情况下有缺货，由不确定的累积需求建模。假设众所周知的区间预算不确定性表示。考虑了它的两个变体。第一个是离散预算不确定性，其中最多有指定数量的累积需求可以同时偏离它们的名义值。第二个变量是连续预算不确定性，其中累积需求与它们的偏差之和同时，它们的标称值至多是所提供的总偏差的界限。对于这两种情况，为了选择对冲累积需求不确定性的生产计划，使用了稳健的 minmax 标准。多项式算法用于评估需求不确定性对给定生产计划的成本影响，称为对抗性问题，并在离散预算不确定性下寻找稳健的生产计划。因此，在这种情况下，所考虑的问题在计算上并不比确定性问题难多少。对于连续预算不确定性，表明对抗性问题和计算稳健生产计划及其最坏情况成本的问题是 NP 难的。在这种情况下，当不确定区间不重叠时，它们可以在伪多项式时间内求解，并采用完全多项式时间近似方案。在一般情况下，提出了一种用于寻找鲁棒计划的分解算法。称为对抗性问题，并为在离散预算不确定性下寻找稳健的生产计划而构建。因此，在这种情况下，所考虑的问题在计算上并不比确定性问题难多少。对于连续预算不确定性，表明对抗性问题和计算稳健生产计划及其最坏情况成本的问题是 NP 难的。在这种情况下，当不确定区间不重叠时，它们可以在伪多项式时间内求解，并采用完全多项式时间近似方案。在一般情况下，提出了一种用于寻找鲁棒计划的分解算法。称为对抗性问题，并为在离散预算不确定性下寻找稳健的生产计划而构建。因此，在这种情况下，所考虑的问题在计算上并不比确定性问题难多少。对于连续预算不确定性，表明对抗性问题和计算稳健生产计划及其最坏情况成本的问题是 NP 难的。在这种情况下，当不确定区间不重叠时，它们可以在伪多项式时间内求解，并采用完全多项式时间近似方案。在一般情况下，提出了一种用于寻找鲁棒计划的分解算法。所考虑的问题在计算上并不比确定性问题难多少。对于连续预算不确定性，表明对抗性问题和计算稳健生产计划及其最坏情况成本的问题是 NP 难的。在这种情况下，当不确定区间不重叠时，它们可以在伪多项式时间内求解，并采用完全多项式时间近似方案。在一般情况下，提出了一种用于寻找鲁棒计划的分解算法。所考虑的问题在计算上并不比确定性问题难多少。对于连续预算不确定性，表明对抗性问题和计算稳健生产计划及其最坏情况成本的问题是 NP 难的。在这种情况下，当不确定区间不重叠时，它们可以在伪多项式时间内求解，并采用完全多项式时间近似方案。在一般情况下，提出了一种用于寻找鲁棒计划的分解算法。它们可以在伪多项式时间内求解，并允许完全多项式时间近似方案。在一般情况下，提出了一种用于寻找鲁棒计划的分解算法。它们可以在伪多项式时间内求解，并允许完全多项式时间近似方案。在一般情况下，提出了一种用于寻找鲁棒计划的分解算法。