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Construction of Hyperbolic Signal Sets from the Uniformization of Hyperelliptic Curves
arXiv - CS - Information Theory Pub Date : 2020-09-11 , DOI: arxiv-2009.05563
Erika Patricia Dantas de Oliveira Guazzi and Reginaldo Palazzo Junior

In this paper, we present a new approach to the problem of designing hyperbolic signal sets matched to groups by use of Whittaker's proposal in the uniformization of hyperelliptic curves via Fuchsian differential equations (FDEs). This systematic process consists of the steps: 1) Obtaining the genus, g, by embedding a discrete memoryless channel (DMC) on a Riemann surface; 2) Select a set of symmetric points in the Poincar\'e disk to establish the hyperelliptic curve; 3) The Fuchsian group uniformizing region comes by the use of the FDE; 4) Quotients of the FDE linearly independent solutions, give rise to the generators of the associated Fuchsian group. Equivalently, this implies the determination of the decision region (Voronoi region) of a digital signal. Hence, the following results are achieved: 1) from the solutions of the FDE, the Fuchsian group generators are established. Since the vertices of the fundamental polygon are at the boundary of unit disk, its area (largest possible) implies the least symbol error probability as a performance measure of a digital communication system; 2) a relation between the parameters of the tessellation {p,q} and the degree of the hyperelliptic curve is established. Knowing g, related to the hyperelliptic curve degree, and p, number of sides of the fundamental polygon derived from Whittaker's uniformizing procedure, the value of q is obtained from the Euler characteristic leading to one of the {4g,4g} or {4g+2, 2g+1} or {12g-6,3} tessellation. These tessellations are important due to their rich geometric and algebraic structures, both required in classical and quantum coding theory applications.

中文翻译:

从超椭圆曲线的均匀化构造双曲信号集

在本文中,我们通过使用 Whittaker 在通过 Fuchsian 微分方程 (FDE) 对超椭圆曲线进行均匀化的建议,提出了一种新方法来解决设计与组匹配的双曲信号集的问题。该系统过程包括以下步骤: 1) 通过在黎曼曲面上嵌入离散无记忆通道 (DMC) 来获得属 g;2) 在庞加莱圆盘中选取一组对称点建立超椭圆曲线;3) Fuchsian 群均匀化区域是通过使用 FDE 得到的;4) FDE 线性无关解的商,产生相关 Fuchsian 群的生成器。等效地,这意味着确定数字信号的决策区域(Voronoi 区域)。因此,实现了以下结果:1)从 FDE 的解决方案,建立 Fuchsian 群生成器。由于基本多边形的顶点位于单位圆盘的边界,因此其面积(尽可能大)意味着作为数字通信系统性能度量的符号错误概率最小;2) 建立镶嵌参数{p,q}与超椭圆曲线度数的关系。知道与超椭圆曲线度数相关的 g 和从惠特克的均匀化程序导出的基本多边形的边数 p,从导致 {4g,4g} 或 {4g+ 之一的欧拉特性中获得 q 的值2, 2g+1} 或 {12g-6,3} 镶嵌。这些曲面细分非常重要,因为它们具有丰富的几何和代数结构,这在经典和量子编码理论应用中都是必需的。由于基本多边形的顶点位于单位圆盘的边界,因此其面积(尽可能大)意味着作为数字通信系统性能度量的符号错误概率最小;2) 建立镶嵌参数{p,q}与超椭圆曲线度数的关系。知道与超椭圆曲线度数相关的 g 和从惠特克的均匀化程序导出的基本多边形的边数 p,从导致 {4g,4g} 或 {4g+ 之一的欧拉特性中获得 q 的值2, 2g+1} 或 {12g-6,3} 镶嵌。这些曲面细分非常重要,因为它们具有丰富的几何和代数结构,这在经典和量子编码理论应用中都是必需的。由于基本多边形的顶点位于单位圆盘的边界,因此其面积(尽可能大)意味着作为数字通信系统性能度量的符号错误概率最小;2) 建立了镶嵌参数{p,q}与超椭圆曲线度数之间的关系。知道与超椭圆曲线度数相关的 g 和从惠特克的均匀化程序导出的基本多边形的边数 p,从导致 {4g,4g} 或 {4g+ 之一的欧拉特性中获得 q 的值2, 2g+1} 或 {12g-6,3} 镶嵌。这些曲面细分非常重要,因为它们具有丰富的几何和代数结构,这在经典和量子编码理论应用中都是必需的。它的面积(尽可能大)意味着作为数字通信系统性能度量的最小符号错误概率;2) 建立镶嵌参数{p,q}与超椭圆曲线度数的关系。知道与超椭圆曲线度数相关的 g 和从惠特克的均匀化程序导出的基本多边形的边数 p,从导致 {4g,4g} 或 {4g+ 之一的欧拉特性中获得 q 的值2, 2g+1} 或 {12g-6,3} 镶嵌。这些曲面细分非常重要,因为它们具有丰富的几何和代数结构,这在经典和量子编码理论应用中都是必需的。它的面积(尽可能大)意味着作为数字通信系统性能度量的最小符号错误概率;2) 建立镶嵌参数{p,q}与超椭圆曲线度数的关系。知道与超椭圆曲线度数相关的 g 和从惠特克的均匀化程序导出的基本多边形的边数 p,从导致 {4g,4g} 或 {4g+ 之一的欧拉特性中获得 q 的值2, 2g+1} 或 {12g-6,3} 镶嵌。这些曲面细分非常重要,因为它们具有丰富的几何和代数结构,这在经典和量子编码理论应用中都是必需的。q} 并建立超椭圆曲线的度数。知道与超椭圆曲线度数相关的 g 和从惠特克的均匀化过程导出的基本多边形的边数 p,可以从导致 {4g,4g} 或 {4g+ 之一的欧拉特性中获得 q 的值2, 2g+1} 或 {12g-6,3} 镶嵌。这些曲面细分非常重要,因为它们具有丰富的几何和代数结构,这在经典和量子编码理论应用中都是必需的。q} 并建立超椭圆曲线的度数。知道与超椭圆曲线度数相关的 g 和从 Whittaker 的均匀化过程导出的基本多边形的边数 p,可以从导致 {4g,4g} 或 {4g+ 之一的欧拉特性中获得 q 的值2, 2g+1} 或 {12g-6,3} 镶嵌。这些曲面细分非常重要,因为它们具有丰富的几何和代数结构,这在经典和量子编码理论应用中都是必需的。
更新日期:2020-09-14
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