We consider the third order Benjamin-Ono equation on the torus${\partial }_{t}u={\partial }_x(-{\partial }_{xx}u-\frac{3}{2}uH{\partial }_{x}u-\frac{3}{2}H(u{\partial }_{x}u)+u^3).$ We prove that for any $t\in \mathbb{R}$, the flow map continuously extends to $H_{r,0}^s(\mathbb{T})$ if $s\ge 0$, but does not admit a continuous extension to $H_{r,0}^{-s}(\mathbb{T})$ if $0<s<\frac{1}{2}$. Moreover, we show that the extension is weakly sequentially continuous in $H_{r,0}^s(\mathbb{T})$ if $s>0$, but is not weakly sequentially continuous in $L_{r,0}^2(\mathbb{T})$. We then classify the traveling wave solutions for the third order Benjamin-Ono equation in $L_{r,0}^2(\mathbb{T})$ and study their orbital stability.

中文翻译：

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圆环上的三阶本杰明-奥诺方程：适定性，行波和稳定性

我们考虑圆环上的三阶本杰明-奥诺方程${\partial }_{Ť}ü={\partial }_X（-{\partial }_{XX}ü-\frac{3}{\mathrm{2个}}üH{\partial }_Xü-\frac{3}{\mathrm{2个}}H（ü{\partial }_Xü）+{ü}^3）。$ 我们证明对于任何 $Ť\in \mathbb{[R}$，流程图不断延伸到 $H_{\mathrm{[R}，0}^s（\mathbb{Ť}）$ 如果 $s\ge 0$，但不允许连续扩展到 $H_{\mathrm{[R}，0}^{-s}（\mathbb{Ť}）$ 如果 $0<s<\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{2个}}$。此外，我们证明了扩展在$H_{\mathrm{[R}，0}^s（\mathbb{Ť}）$ 如果 $s>0$，但在 ${\mathrm{大号}}_{\mathrm{[R}，0}^{\mathrm{2个}}（\mathbb{Ť}）$。然后，我们对三阶本杰明-奥诺方程的行波解进行分类${\mathrm{大号}}_{\mathrm{[R}，0}^{\mathrm{2个}}（\mathbb{Ť}）$ 并研究它们的轨道稳定性。