We consider actions of the current Lie algebras $\mathfrak{gl}_{n}[t]$ and $\mathfrak{gl}_{k}[t]$ on the space of polynomials in $kn$ anticommuting variables. The actions depend on parameters $\bar{z}=(z_{1}\dots z_{k})$ and $\bar{\alpha}=(\alpha_{1}\dots \alpha_{n})$, respectively. We show that the images of the Bethe algebras $\mathcal{B}_{\bar{\alpha}}^{\langle n \rangle}\subset U(\mathfrak{gl}_{n}[t])$ and $\mathcal{B}_{\bar{z}}^{\langle k \rangle}\subset U(\mathfrak{gl}_{k}[t])$ under these actions coincide. To prove the statement, we use the Bethe ansatz description of eigenvalues of the actions of the Bethe algebras via spaces of quasi-exponentials and establish an explicit correspondence between these spaces for the actions of $\mathcal{B}_{\bar{\alpha}}^{\langle n \rangle}$ and $\mathcal{B}_{\bar{z}}^{\langle k \rangle}$.

中文翻译：

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作用于反交换变量多项式的 Bethe 代数的对偶性

我们考虑当前李代数 $\mathfrak{gl}_{n}[t]$ 和 $\mathfrak{gl}_{k}[t]$ 在 $kn$ 反交换变量中的多项式空间上的作用。动作取决于参数 $\bar{z}=(z_{1}\dots z_{k})$ 和 $\bar{\alpha}=(\alpha_{1}\dots \alpha_{n})$，分别。我们证明了 Bethe 代数的图像 $\mathcal{B}_{\bar{\alpha}}^{\langle n \rangle}\subset U(\mathfrak{gl}_{n}[t])$和 $\mathcal{B}_{\bar{z}}^{\langle k \rangle}\subset U(\mathfrak{gl}_{k}[t])$ 在这些动作下重合。为了证明该陈述，我们通过准指数空间使用 Bethe 代数的动作的特征值的 Bethe ansatz 描述，并在这些空间之间为 $\mathcal{B}_{\bar{\ alpha}}^{\langle n \rangle}$ 和 $\mathcal{B}_{\bar{z}}^{\langle k \rangle}$。