Abstract For a graph G and a positive integer k , a k -list assignment of G is a function L on the vertices of G such that for each vertex v ∈ V ( G ) , | L ( v ) | ≥ k . Let s be a nonnegative integer. Then L is a ( k , k + s ) -list assignment of G if | L ( u ) ∪ L ( v ) | ≥ k + s for each edge u v . If for each ( k , k + s ) -list assignment L of G , G admits a proper coloring φ such that φ ( v ) ∈ L ( v ) for each v ∈ V ( G ) , then we say G is ( k , k + s ) -choosable. This refinement of choosability is called choosability with union separation by Kumbhat et al. (2018), who showed that all planar graphs are ( 3 , 11 ) -choosable and ( 4 , 9 ) -choosable. In this paper, we prove that every triangle-free planar graph is ( 3 , 7 ) -choosable. We also prove that every planar graph with girth at least 5 is ( 2 , 7 ) -choosable.

中文翻译：

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无三角形平面图的联合分离的可选择性

摘要 对于图 G 和正整数 k ，G 的 ak 表赋值是 G 顶点上的函数 L 使得对于每个顶点 v ∈ V ( G ) , | L ( v ) | ≥ k 。让 s 是一个非负整数。那么 L 是 G 的 ( k , k + s ) -list 赋值，如果 | L ( u ) ∪ L ( v ) | 对于每条边 uv ≥ k + s。如果对于 G 的每个 ( k , k + s ) -list 赋值 L ， G 承认适当的着色 φ 使得对于每个 v ∈ V ( G ) φ ( v ) ∈ L ( v ) ，那么我们说 G 是 ( k , k + s ) - 可选。这种对选择性的改进被 Kumbhat 等人称为具有联合分离的选择性。(2018)，他证明所有平面图都是 (3, 11) -choosable 和 (4, 9) -choosable。在本文中，我们证明了每个无三角形平面图都是 ( 3 , 7 ) 可选的。我们还证明了每个周长至少为 5 的平面图是 ( 2 , 7 ) 可选的。