In this paper, we first study the locally constrained curvature flow of hypersurfaces in hyperbolic space, which was introduced by Brendle, Guan and Li [7]. This flow preserves the $m$th quermassintegral and decreases $(m+1)$th quermassintegral, so the convergence of the flow yields sharp Alexandrov-Fenchel type inequalities in hyperbolic space. Some special cases have been studied in [7]. In the first part of this paper, we show that h-convexity of the hypersurface is preserved along the flow and then the smooth convergence of the flow for h-convex hypersurfaces follows. We then apply this result to establish some new sharp geometric inequalities comparing the integral of $k$th Gauss-Bonnet curvature of a smooth h-convex hypersurface to its $m$th quermassintegral (for $0\leq m\leq 2k+1\leq n$), and comparing the weighted integral of $k$th mean curvature to its $m$th quermassintegral (for $0\leq m\leq k\leq n$). In particular, we give an affirmative answer to a conjecture proposed by Ge, Wang and Wu in 2015. In the second part of this paper, we introduce a new locally constrained curvature flow using the shifted principal curvatures. This is natural in the context of h-convexity. We prove the smooth convergence to a geodesic sphere of the flow for h-convex hypersurfaces, and provide a new proof of the geometric inequalities proved by Andrews, Chen and the third author of this paper in 2018. We also prove a family of new sharp inequalities involving the weighted integral of $k$th shifted mean curvature for h-convex hypersurfaces.

中文翻译：

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双曲空间中局部约束的曲率流和几何不等式

在本文中，我们首先研究了双曲空间中超曲面的局部约束曲率流，这是由 Brendle、Guan 和 Li 提出的 [7]。这个流保留了第 $m$ 个 quermassintegral 并减少了 $(m+1)$th quermassintegral，所以流的收敛会在双曲空间中产生尖锐的 Alexandrov-Fenchel 型不等式。在[7]中已经研究了一些特殊情况。在本文的第一部分，我们展示了超曲面的 h 凸性沿流保持不变，然后 h 凸超曲面的流的平滑收敛如下。然后我们应用这个结果来建立一些新的尖锐几何不等式，将光滑 h 凸面超曲面的 $k$th Gauss-Bonnet 曲率积分与其 $m$th quermassintegral（对于 $0\leq m\leq 2k+1\ leq n$), 并将 $k$th 平均曲率的加权积分与其 $m$th quermassintegral 进行比较（对于 $0\leq m\leq k\leq n$）。特别是，我们对 Ge、Wang 和 Wu 在 2015 年提出的一个猜想给出了肯定的回答。在本文的第二部分，我们引入了一种新的使用移动主曲率的局部约束曲率流。这在 h 凸性的情况下是很自然的。我们证明了 h 凸超曲面流的测地线球面的平滑收敛，并为 Andrews、Chen 和本文的第三作者在 2018 年证明的几何不等式提供了新的证明。我们还证明了一系列新的尖锐不等式涉及 h 凸超曲面的第 k 个偏移平均曲率的加权积分。我们对 Ge、Wang 和 Wu 在 2015 年提出的一个猜想给出了肯定的回答。在本文的第二部分，我们引入了一种新的使用移动主曲率的局部约束曲率流。这在 h 凸性的情况下是很自然的。我们证明了 h 凸超曲面流的测地线球面的平滑收敛，并为 Andrews、Chen 和本文的第三作者在 2018 年证明的几何不等式提供了新的证明。我们还证明了一系列新的尖锐不等式涉及 h 凸超曲面的第 k 个偏移平均曲率的加权积分。我们对 Ge、Wang 和 Wu 在 2015 年提出的一个猜想给出了肯定的回答。在本文的第二部分，我们引入了一种新的使用移动主曲率的局部约束曲率流。这在 h 凸性的情况下是很自然的。我们证明了 h 凸超曲面流的测地线球面的平滑收敛，并为 Andrews、Chen 和本文的第三作者在 2018 年证明的几何不等式提供了新的证明。我们还证明了一系列新的尖锐不等式涉及 h 凸超曲面的第 k 个偏移平均曲率的加权积分。