Abstract We consider Weierstras and Takagi–van der Waerden functions with critical degree of roughness. In this case, the functions have vanishing p th variation for all p > 1 but are also nowhere differentiable and hence not of bounded variation either. We resolve this apparent puzzle by showing that these functions have finite, nonzero, and linear Wiener–Young Φ -variation along the sequence of b -adic partitions, where Φ ( x ) = x ∕ − log x . For the Weierstras functions, our proof is based on the martingale central limit theorem (CLT). For the Takagi–van der Waerden functions, we use the CLT for Markov chains if a certain parameter b is odd, and the standard CLT for b even.

中文翻译：

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具有临界粗糙度的经典分形函数 Φ 变化的概率方法

摘要 我们考虑具有临界粗糙度的 Weierstras 和 Takagi-van der Waerden 函数。在这种情况下，对于所有 p > 1，函数具有消失的 p th 变化，但也无处可微，因此也不是有界变化。我们通过展示这些函数沿着 b-adic 分区序列具有有限的、非零的和线性的 Wiener-Young Φ - 变化来解决这个明显的难题，其中 Φ ( x ) = x ∕ − log x 。对于 Weierstras 函数，我们的证明基于鞅中心极限定理 (CLT)。对于 Takagi-van der Waerden 函数，如果某个参数 b 是奇数，我们使用马尔可夫链的 CLT，而 b 是偶数的标准 CLT。