We prove that, for $p\in (1,\mathrm{\infty })$ and $\text{β}\in \mathbb{R}$, the function $x\mapsto \frac{\text{β}-\log \sqrt[p]{1-x}}{{\mathcal{K}}_p\left(\sqrt[p]{x}\right)}$ is strictly concave on $(0,1)$ if and only if $\text{β}\ge \lambda \left(p\right):=\frac{2p(p^2-2p+2)}{(p-1)(2p^2-3p+3)},$ where ${\mathcal{K}}_p$ represents the generalized complete p-elliptic integrals of the first kind defined by ${\mathcal{K}}_p\left(r\right):={\int }_0^{{\pi }_p/2}\frac{\mathrm{d}\theta }{(1-r^p{\sin }_p^p\theta {)}^{1-1/p}},$ where ${\pi }_p:=\frac{2}{p}B(1/p,1-1/p)$, ${\pi }_2=\pi$, and ${\sin }_p$ is the generalized sine function, with ${\sin }_2=\sin .$ This extends the recently obtained corresponding result for the case that p = 2. We then apply this concavity property to obtain the following functional inequality (likewise extending the previously established result for the case that p = 2): For all $r\in (0,1)$, we have $\frac{2\text{β}}{{\pi }_p}+1<\frac{\text{β}-\log \left(r^{\prime }\right)}{{\mathcal{K}}_p\left(r\right)}+\frac{\text{β}-\log \left(r\right)}{{\mathcal{K}}_p\left(r^{\prime }\right)}\le \frac{2\text{β}+2\log \left(\sqrt[p]{2}\right)}{{\mathcal{K}}_p\left(1/\sqrt[p]{2}\right)},$ where $r^{\prime }=\sqrt[p]{1-r^p}$, $p\in (1,\mathrm{\infty })$, and $\text{β}\ge \lambda \left(p\right)$. Both bounds are sharp. The sign of equality holds if and only if $r=1/\sqrt[p]{2}$.

我们证明， $p\in （\mathrm{1个}，\mathrm{\infty }）$ 和 $\text{β}\in \mathbb{[R}$， 功能 $X\mapsto \frac{\text{β}-\mathrm{日志}\sqrt[p]{\mathrm{1个}-X}}{{\mathcal{ķ}}_p（\sqrt[p]{X}）}$ 严格凹入 $（0，\mathrm{1个}）$ 当且仅当 $\text{β}\ge \lambda （p）：=\frac{\mathrm{2个}p（p^{\mathrm{2个}}-\mathrm{2个}p+\mathrm{2个}）}{（p-\mathrm{1个}）（\mathrm{2个}{p}^{\mathrm{2个}}-3p+3）}，$ 在哪里 ${\mathcal{ķ}}_p$表示由定义的第一类广义完全p-椭圆积分${\mathcal{ķ}}_p（\mathrm{[R}）：={\int }_0^{{\pi }_p/\mathrm{2个}}\frac{\mathrm{d}\theta }{（\mathrm{1个}-{\mathrm{[R}}^p{罪}_p^p\theta {）}^{\mathrm{1个}-\mathrm{1个}/p}}，$ 在哪里 ${\pi }_p：=\frac{\mathrm{2个}}{p}乙（\mathrm{1个}/p，\mathrm{1个}-\mathrm{1个}/p）$， ${\pi }_{\mathrm{2个}}=\pi$， 和 ${罪}_p$ 是广义正弦函数，具有 ${罪}_{\mathrm{2个}}=罪。$对于p  = 2的情况，这扩展了最近获得的对应结果。然后，我们应用此凹度属性来获得以下函数不等式（对于p  = 2的情况，同样扩展先前建立的结果）：对于所有$\mathrm{[R}\in （0，\mathrm{1个}）$， 我们有 $\frac{\mathrm{2个}\text{β}}{{\pi }_p}+\mathrm{1个}<\frac{\text{β}-\mathrm{日志}（{\mathrm{[R}}^{\prime }）}{{\mathcal{ķ}}_p（\mathrm{[R}）}+\frac{\text{β}-\mathrm{日志}（\mathrm{[R}）}{{\mathcal{ķ}}_p（{\mathrm{[R}}^{\prime }）}\le \frac{\mathrm{2个}\text{β}+\mathrm{2个}\mathrm{日志}（\sqrt[p]{\mathrm{2个}}）}{{\mathcal{ķ}}_p（\mathrm{1个}/\sqrt[p]{\mathrm{2个}}）}，$ 在哪里 ${\mathrm{[R}}^{\prime }=\sqrt[p]{\mathrm{1个}-{\mathrm{[R}}^p}$， $p\in （\mathrm{1个}，\mathrm{\infty }）$， 和 $\text{β}\ge \lambda （p）$。这两个界限都是尖锐的。平等的迹象只有当且仅当$\mathrm{[R}=\mathrm{1个}/\sqrt[p]{\mathrm{2个}}$。