Abstract In noncommutative geometry, Connes’s spectral distance is an extended metric on the state space of a C ∗ -algebra generalizing Kantorovich’s dual formula of the Wasserstein distance of order 1 from optimal transport. It is expressed as a supremum. We present a dual formula – as an infimum – generalizing Beckmann’s “dual of the dual” formulation of the Wasserstein distance. We then discuss some examples with matrix algebras, where such a dual formula may be useful to obtain upper bounds for the distance.

中文翻译：

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非对易几何中谱距离的对偶公式

摘要 在非对易几何中，Connes 的谱距离是 C ∗ 代数状态空间上的扩展度量，它概括了 Kantorovich 的 1 阶 Wasserstein 距离与最优传输距离的对偶公式。它被表示为至高无上。我们提出了一个对偶公式——作为下界——概括了贝克曼对 Wasserstein 距离的“对偶对偶”公式。然后我们讨论一些矩阵代数的例子，其中这样的对偶公式可能有助于获得距离的上限。