We prove an optimal semiclassical bound on the trace norm of the following commutators $$[{\varvec{1}}_{(-\infty ,0]}(H_\hbar ),x]$$ , $$[{\varvec{1}}_{(-\infty ,0]}(H_\hbar ),-i\hbar \nabla ]$$ and $$[{\varvec{1}}_{(-\infty ,0]}(H_\hbar ),e^{i\langle t, x\rangle }]$$ , where $$H_\hbar $$ is a Schrodinger operator with a semiclassical parameter $$\hbar $$ , x is the position operator, $$-\,i\hbar \nabla $$ is the momentum operator, and t in $${\mathbb {R}}^d$$ is a parameter. These bounds are in the non-interacting setting the ones introduced as an assumption by N. Benedikter, M. Porta and B. Schlein in a study of the mean-field evolution of a fermionic system.

中文翻译：

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具有位置和动量算子的谱投影交换子的最优半经典界

我们证明了以下交换子的迹范数上的最优半经典边界 $$[{\varvec{1}}_{(-\infty ,0]}(H_\hbar ),x]$$ , $$[{\ varvec{1}}_{(-\infty ,0]}(H_\hbar ),-i\hbar \nabla ]$$ 和 $$[{\varvec{1}}_{(-\infty ,0] }(H_\hbar ),e^{i\langle t, x\rangle }]$$ ，其中 $$H_\hbar $$ 是一个薛定谔算子，带有一个半经典参数 $$\hbar $$ ，x 是位置运算符，$$-\,i\hbar \nabla $$ 是动量运算符，$${\mathbb {R}}^d$$ 中的 t 是参数。这些边界在非交互设置中N. Benedikter、M. Porta 和 B. Schlein 在研究费米子系统的平均场演化时作为假设引入。