Using dependent type theory to formalise the syntax of dependent type theory is a very active topic of study and goes under the name of "type theory eating itself" or "type theory in type theory." Most approaches are at least loosely based on Dybjer's categories with families (CwF's) and come with a type CON of contexts, a type family TY indexed over it modelling types, and so on. This works well in versions of type theory where the principle of unique identity proofs (UIP) holds. In homotopy type theory (HoTT) however, it is a long-standing and frequently discussed open problem whether the type theory "eats itself" and can serve as its own interpreter. The fundamental underlying difficulty seems to be that categories are not suitable to capture a type theory in the absence of UIP. In this paper, we develop a notion of $\infty$-categories with families ($\infty$-CwF's). The approach to higher categories used relies on the previously suggested semi-Segal types, with a new construction of identity substitutions that allow for both univalent and non-univalent variations. The type-theoretic universe as well as the internalised syntax are models, although it remains a conjecture that the latter is initial. To circumvent the known unsolved problem of constructing semisimplicial types, the definition is presented in two-level type theory (2LTT). Apart from introducing $\infty$-CwF's, this paper is meant to serve as a "gentle introduction" to shortcomings of 1-categories in type theory without UIP, and to difficulties of and approaches to internal higher-dimensional categories.

中文翻译：

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依赖类型理论的内部 $\infty$-Categorical 模型：Towards 2LTT Eating HoTT

使用依赖类型理论来形式化依赖类型理论的语法是一个非常活跃的研究主题，并被称为“类型理论吞噬自己”或“类型理论中的类型理论”。大多数方法至少松散地基于 Dybjer 的带有族 (CwF) 的类别，并带有上下文的类型 CON、在其建模类型上索引的类型族 TY，等等。这在唯一身份证明 (UIP) 原则成立的类型理论版本中效果很好。然而，在同伦类型论（HoTT）中，类型论是否“自食其力”并可以作为它自己的解释器是一个长期存在且经常被讨论的开放性问题。根本的潜在困难似乎是在没有 UIP 的情况下，类别不适合捕获类型理论。在本文中，我们开发了 $\infty$-与家庭（$\infty$-CwF's）的类别的概念。使用的更高类别的方法依赖于先前建议的半 Segal 类型，具有允许单价和非单价变化的身份替换的新构造。类型论宇宙以及内化句法都是模型，尽管后者是初始的仍然是一个猜想。为了规避构建半简单类型的已知未解决问题，定义在两级类型理论 (2LTT) 中提出。除了介绍 $\infty$-CwF 之外，本文旨在“温和地介绍”没有 UIP 的类型理论中 1-categories 的缺点，以及内部高维类别的困难和方法。使用的更高类别的方法依赖于先前建议的半 Segal 类型，具有允许单价和非单价变化的身份替换的新构造。类型论宇宙以及内化句法都是模型，尽管后者是初始的仍然是一个猜想。为了规避构建半简单类型的已知未解决问题，定义在两级类型理论 (2LTT) 中提出。除了介绍 $\infty$-CwF 之外，本文旨在“温和地介绍”没有 UIP 的类型理论中 1-categories 的缺点，以及内部高维类别的困难和方法。使用的更高类别的方法依赖于先前建议的半 Segal 类型，具有允许单价和非单价变化的身份替换的新构造。类型论宇宙以及内化句法都是模型，尽管后者是初始的仍然是一个猜想。为了规避构建半简单类型的已知未解决问题，定义在两级类型理论 (2LTT) 中提出。除了介绍 $\infty$-CwF 之外，本文旨在“温和地介绍”没有 UIP 的类型理论中 1-categories 的缺点，以及内部高维类别的困难和方法。具有允许单价和非单价变化的身份替换的新结构。类型论宇宙以及内化句法都是模型，尽管后者是初始的仍然是一个猜想。为了规避构建半简单类型的已知未解决问题，定义在两级类型理论 (2LTT) 中提出。除了介绍 $\infty$-CwF 之外，本文旨在“温和地介绍”没有 UIP 的类型理论中 1-categories 的缺点，以及内部高维类别的困难和方法。具有允许单价和非单价变化的身份替换的新结构。类型论宇宙以及内化句法都是模型，尽管后者是初始的仍然是一个猜想。为了规避构建半简单类型的已知未解决问题，定义是在两级类型理论 (2LTT) 中提出的。除了介绍 $\infty$-CwF 之外，本文旨在“温和地介绍”没有 UIP 的类型理论中 1-categories 的缺点，以及内部高维类别的困难和方法。为了规避构建半简单类型的已知未解决问题，定义是在两级类型理论 (2LTT) 中提出的。除了介绍 $\infty$-CwF 之外，本文旨在“温和地介绍”没有 UIP 的类型理论中 1-categories 的缺点，以及内部高维类别的困难和方法。为了规避构建半简单类型的已知未解决问题，定义在两级类型理论 (2LTT) 中提出。除了介绍 $\infty$-CwF 之外，本文旨在“温和地介绍”没有 UIP 的类型理论中 1-categories 的缺点，以及内部高维类别的困难和方法。