In this paper, we investigate the properties of the full colored HOMFLYPT invariants in the full skein of the annulus $\mathcal{C}$. We show that the full colored HOMFLYPT invariant has a nice structure when $q\rightarrow 1$. The composite invariant is a combination of the full colored HOMFLYPT invariants. In order to study the framed LMOV type conjecture for composite invariants, we introduce the framed reformulated composite invariant $\check{\mathcal{R}}_{p}(\mathcal{L})$. By using the HOMFLY skein theory, we prove that $\check{\mathcal{R}}_{p}(\mathcal{L})$ lies in the ring $2\mathbb{Z}[(q-q^{-1})^2,t^{\pm 1}]$. Furthermore, we propose a conjecture of congruent skein relation for $\check{\mathcal{R}}_{p}(\mathcal{L})$ and prove it for certain special cases.

中文翻译：

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全彩色 HOMFLYPT 不变量、复合不变量和同余绞线关系

在本文中，我们研究了环 $\mathcal{C}$ 的全绞线中全彩色 HOMFLYPT 不变量的性质。我们表明，当 $q\rightarrow 1$ 时，全彩色 HOMFLYPT 不变量具有很好的结构。复合不变量是全彩色 HOMFLYPT 不变量的组合。为了研究复合不变量的框架化 LMOV 类型猜想，我们引入了框架化重构复合不变量 $\check{\mathcal{R}}_{p}(\mathcal{L})$。通过使用 HOMFLY skein 理论，我们证明 $\check{\mathcal{R}}_{p}(\mathcal{L})$ 位于环 $2\mathbb{Z}[(qq^{-1} )^2,t^{\pm 1}]$。此外，我们提出了 $\check{\mathcal{R}}_{p}(\mathcal{L})$ 的全等绞线关系猜想，并在某些特殊情况下证明了它。