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Asymptotic degree distributions in large (homogeneous) random networks: A little theory and a counterexample
IEEE Transactions on Network Science and Engineering ( IF 6.6 ) Pub Date : 2020-07-01 , DOI: 10.1109/tnse.2019.2938916
Siddharth Pal , Armand M. Makowski

In random graph models, the degree distribution of an individual node should be distinguished from the (empirical) degree distribution of the graph that records the fractions of nodes with given degree. We introduce a general framework to explore when these two degree distributions coincide asymptotically in a sequence of homogeneous random networks of increasingly large size. The discussion is carried under three basic statistical assumptions on the degree sequence: (i) a weak form of distributional homogeneity; (ii) the existence of an asymptotic (nodal) degree distribution; and (iii) a weak form of asymptotic uncorrelatedness. It follows from the discussion that under (i)-(ii) the asymptotic equality of the two degree distributions occurs if and only if (iii) holds. We use this observation to show that the asymptotic equality may fail in some homogeneous random networks. The counterexample is found in the class of random threshold graphs with exponentially distributed fitness for which (i) and (ii) hold but where (iii) does not. An implication of this finding is that these random threshold graphs cannot be used as a substitute to the Barabási-Albert model for scale-free network modeling, as was proposed by some authors. Results can also be formulated for non-homogeneous models with the help of a random sampling procedure over the nodes. This approach is applicable to many classes of network models, including preferential attachment models and locally weak convergent sequence of random graphs.

中文翻译:

大型(齐次)随机网络中的渐近度分布:一个小理论和一个反例

在随机图模型中,应将单个节点的度分布与记录具有给定度的节点的分数的图的(经验)度分布区分开来。我们引入了一个通用框架来探索这两个度数分布在一系列越来越大的同构随机网络中何时渐近重合。讨论是在关于度数序列的三个基本统计假设下进行的:(i) 分布同质性的弱形式;(ii) 渐近(节点)度分布的存在;(iii) 渐近不相关的弱形式。从讨论可以看出,在 (i)-(ii) 下,当且仅当 (iii) 成立时,两个度分布的渐近相等才会发生。我们使用这个观察来表明渐近等式在一些同构随机网络中可能会失败。反例出现在具有指数分布适应度的随机阈值图类中,其中 (i) 和 (ii) 成立,但 (iii) 不成立。这一发现的一个含义是,这些随机阈值图不能用作无标度网络建模的 Barabási-Albert 模型的替代品,正如一些作者提出的那样。在节点上的随机抽样程序的帮助下,还可以为非均匀模型制定结果。这种方法适用于许多类别的网络模型,包括优先连接模型和随机图的局部弱收敛序列。反例出现在具有指数分布适应度的随机阈值图类中,其中 (i) 和 (ii) 成立,但 (iii) 不成立。这一发现的一个含义是,这些随机阈值图不能用作无标度网络建模的 Barabási-Albert 模型的替代品,正如一些作者提出的那样。在节点上的随机抽样程序的帮助下,还可以为非均匀模型制定结果。这种方法适用于许多类别的网络模型,包括优先连接模型和随机图的局部弱收敛序列。反例出现在具有指数分布适应度的随机阈值图类中,其中(i)和(ii)成立,但(iii)不成立。这一发现的一个含义是,这些随机阈值图不能用作无标度网络建模的 Barabási-Albert 模型的替代品,正如一些作者提出的那样。在节点上的随机抽样程序的帮助下,还可以为非均匀模型制定结果。这种方法适用于许多类别的网络模型,包括优先连接模型和随机图的局部弱收敛序列。这一发现的一个含义是,这些随机阈值图不能用作无标度网络建模的 Barabási-Albert 模型的替代品,正如一些作者提出的那样。在节点上的随机抽样程序的帮助下,还可以为非均匀模型制定结果。这种方法适用于许多类别的网络模型,包括优先连接模型和随机图的局部弱收敛序列。这一发现的一个含义是,这些随机阈值图不能用作无标度网络建模的 Barabási-Albert 模型的替代品,正如一些作者提出的那样。在节点上的随机抽样程序的帮助下,还可以为非均匀模型制定结果。这种方法适用于许多类别的网络模型,包括优先连接模型和随机图的局部弱收敛序列。
更新日期:2020-07-01
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