$O(N)$ invariants are the observables of real tensor models. We use regular colored graphs to represent these invariants, the valence of the vertices of the graphs relates to the tensor rank. We enumerate $O(N)$ invariants as $d$-regular graphs, using permutation group techniques. We also list their generating functions and give (software) algorithms computing their number at an arbitrary rank and an arbitrary number of vertices. As an interesting property, we reveal that the algebraic structure which organizes these invariants differs from that of the unitary invariants. The underlying topological field theory formulation of the rank $d$ counting shows that it corresponds to counting of coverings of the $d-1$ cylinders sharing the same boundary circle and with $d$ defects. At fixed rank and fixed number of vertices, an associative semi-simple algebra with dimension the number of invariants naturally emerges from the formulation. Using the representation theory of the symmetric group, we enlighten a few crucial facts: the enumeration of $O(N)$ invariants gives a sum of constrained Kronecker coefficients; there is a representation theoretic orthogonal base of the algebra that reflects its dimension; normal ordered 2-pt correlators of the Gaussian models evaluate using permutation group language, and further, via representation theory, these functions provide other representation theoretic orthogonal bases of the algebra.

中文翻译：

---

关于 $O(N)$ 张量不变量的计数

$O(N)$ 不变量是真实张量模型的可观察量。我们使用规则的彩色图来表示这些不变量，图中顶点的价与张量等级有关。我们使用置换群技术将 $O(N)$ 不变量枚举为 $d$-正则图。我们还列出了它们的生成函数，并给出（软件）算法以任意等级和任意数量的顶点计算它们的数量。作为一个有趣的性质，我们揭示了组织这些不变量的代数结构与酉不变量的代数结构不同。秩 $d$ 计数的基本拓扑场理论公式表明，它对应于 $d-1$ 圆柱体共享相同边界圆并具有 $d$ 缺陷的覆盖物的计数。在固定秩和固定顶点数下，具有维数的结合半简单代数，不变量的数量从公式中自然出现。使用对称群的表示理论，我们启发了一些关键事实：$O(N)$ 不变量的枚举给出了约束克罗内克系数的总和；存在反映其维数的代数的表示理论正交基；高斯模型的正序 2-pt 相关器使用置换群语言进行评估，此外，通过表示理论，这些函数提供了代数的其他表示理论正交基础。$O(N)$ 不变量的枚举给出了约束克罗内克系数的总和；存在反映其维数的代数的表示理论正交基；高斯模型的正序 2-pt 相关器使用置换群语言进行评估，此外，通过表示理论，这些函数提供了代数的其他表示理论正交基础。$O(N)$ 不变量的枚举给出了约束克罗内克系数的总和；存在反映其维数的代数的表示理论正交基；高斯模型的正序 2-pt 相关器使用置换群语言进行评估，此外，通过表示理论，这些函数提供了代数的其他表示理论正交基础。