Motivated by applications to image reconstruction, in this paper we analyse a \emph{finite-difference discretisation} of the Ambrosio-Tortorelli functional. Denoted by $\varepsilon$ the elliptic-approximation parameter and by $\delta$ the discretisation step-size, we fully describe the relative impact of $\varepsilon$ and $\delta$ in terms of $\Gamma$-limits for the corresponding discrete functionals, in the three possible scaling regimes. We show, in particular, that when $\varepsilon$ and $\delta$ are of the same order, the underlying lattice structure affects the $\Gamma$-limit which turns out to be an anisotropic free-discontinuity functional.

中文翻译：

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自由不连续问题的有限差分近似的定量分析

受图像重建应用的启发，在本文中，我们分析了 Ambrosio-Tortorelli 泛函的 \emph {有限差分离散化}。由椭圆近似参数 $\varepsilon$ 和离散化步长 $\delta$ 表示，我们完全描述了 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 在 $\Gamma$-limits 方面的相对影响对应的离散泛函，在三种可能的缩放机制中。我们特别表明，当 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 具有相同的顺序时，底层晶格结构会影响 $\Gamma$-limit，结果证明它是一个各向异性的自由不连续函数。