A central problem in algebraic complexity, posed by J. Edmonds, asks to decide if the span of a given $l$-tuple $\V=(\V_1, \ldots, \V_l)$ of $N \times N$ complex matrices contains a non-singular matrix. In this paper, we provide a quiver invariant theoretic approach to this problem. Viewing $\V$ as a representation of the $l$-Kronecker quiver $\K_l$, Edmonds' problem can be rephrased as asking to decide if there exists a semi-invariant on the representation space $(\CC^{N\times N})^l$ of weight $(1,-1)$ that does not vanish at $\V$. In other words, Edmonds' problem is asking to decide if the weight $(1,-1)$ belongs to the orbit semigroup of $\V$. Let $Q$ be an arbitrary acyclic quiver and $\V$ a representation of $Q$. We study the membership problem for the orbit semi-group of $\V$ by focusing on the so-called $\V$-saturated weights. We first show that for any given $\V$-saturated weight $\sigma$, checking if $\sigma$ belongs to the orbit semigroup of $\V$ can be done in deterministic polynomial time. Next, let $(Q, \R)$ be an acyclic bound quiver with bound quiver algebra $A=KQ/\langle \R \rangle$ and assume that $\V$ satisfies the relations in $\R$. We show that if $A/\Ann_A(\V)$ is a tame algebra then any weight $\sigma$ in the weight semigroup of $\V$ is $\V$-saturated. Our results provide a systematic way of producing families of tuples of matrices for which Edmonds' problem can be solved effectively.

中文翻译：

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Edmonds 问题和 quiver 表示的轨道半群的隶属度问题

由 J. Edmonds 提出的代数复杂性中的一个核心问题要求确定给定的 $l$-元组 $\V=(\V_1, \ldots, \V_l)$ 的跨度是否为 $N \times N$矩阵包含一个非奇异矩阵。在本文中，我们为这个问题提供了一种颤动不变的理论方法。将 $\V$ 视为 $l$-Kronecker quiver $\K_l$ 的表示，Edmonds 问题可以重新表述为要求确定表示空间 $(\CC^{N\次 N})^l$ 的权重 $(1,-1)$ 不会在 $\V$ 处消失。换句话说，Edmonds 的问题是要求确定权重 $(1,-1)$ 是否属于 $\V$ 的轨道半群。令 $Q$ 是一个任意的非循环箭袋，$\V$ 是 $Q$ 的表示。我们通过关注所谓的 $\V$ 饱和权重来研究 $\V$ 轨道半群的隶属度问题。我们首先证明，对于任何给定的 $\V$ 饱和权重 $\sigma$，可以在确定性多项式时间内检查 $\sigma$ 是否属于 $\V$ 的轨道半群。接下来，让$(Q, \R)$ 是一个有界箭袋代数$A=KQ/\langle \R \rangle$ 的无环有界箭袋，并假设$\V$ 满足$\R$ 中的关系。我们证明，如果 $A/\Ann_A(\V)$ 是一个驯服代数，那么 $\V$ 的权重半群中的任何权重 $\sigma$ 都是 $\V$ 饱和的。我们的结果提供了一种生成矩阵元组族的系统方法，可以有效地解决 Edmonds 问题。\R)$ 是一个有界箭袋代数 $A=KQ/\langle \R \rangle$ 的无环有界箭袋，并假设 $\V$ 满足 $\R$ 中的关系。我们证明如果 $A/\Ann_A(\V)$ 是一个驯服代数，那么 $\V$ 的权重半群中的任何权重 $\sigma$ 都是 $\V$ 饱和的。我们的结果提供了一种生成矩阵元组族的系统方法，可以有效地解决 Edmonds 问题。\R)$ 是一个有界箭袋代数 $A=KQ/\langle \R \rangle$ 的无环有界箭袋，并假设 $\V$ 满足 $\R$ 中的关系。我们证明如果 $A/\Ann_A(\V)$ 是一个驯服代数，那么 $\V$ 的权重半群中的任何权重 $\sigma$ 都是 $\V$ 饱和的。我们的结果提供了一种生成矩阵元组族的系统方法，可以有效地解决 Edmonds 问题。