In this paper we study the problem of computing train trajectories in an uncertain environment in which the values of some system parameters are difficult to determine. Specifically, we consider uncertainty in traction force and train resistance, and their impact on travel time and energy consumption. Our ultimate goal is to be able to control trains such that they will arrive on-time, i.e. within the planned running time, regardless of uncertain factors affecting their dynamic or kinematic performance. We formulate the problem as a Markov decision process and solve it using a novel numerical approach which combines: (i) an off-line approximate dynamic programming (ADP) method to learn the energy and time costs over iterations, and (ii) an on-line search process to determine energy-efficient driving strategies that respect the real-time time windows, more in general expressed as train path envelope constraints. To evaluate the performance of our approach, we conducted a numerical study using real-life railway infrastructure and train data. Compared to a set of benchmark driving strategies, the trajectories from our ADP-based method reduce the probability of delayed arrival, and at the same time are able to better use the available running time for energy saving. Our results show that accounting for uncertainty is relevant when computing train trajectories and that our ADP-based method can handle this uncertainty effectively.

在本文中，我们研究了在不确定的环境中计算火车轨迹的问题，在该环境中某些系统参数的值难以确定。具体来说，我们考虑了牵引力和列车阻力的不确定性，以及它们对行驶时间和能耗的影响。我们的最终目标是能够控制火车，使它们能够按时到达，即在计划的运行时间内到达，而不受影响其动态或运动性能的不确定因素的影响。我们将问题表述为Markov决策过程，并使用一种新颖的数值方法来解决该问题，该方法结合了：（i）离线近似动态规划（ADP）方法来了解迭代过程中的能源和时间成本，（ii）在线搜索过程，以确定符合实时时间窗的节能驾驶策略，通常将其表示为列车路径包络约束。为了评估我们方法的效果，我们使用了现实的铁路基础设施和火车数据进行了数值研究。与一系列基准驾驶策略相比，基于我们基于ADP的方法的轨迹减少了延迟到达的可能性，同时能够更好地利用可用的运行时间进行节能。我们的结果表明，在计算火车轨迹时考虑不确定性很重要，并且我们基于ADP的方法可以有效地处理这种不确定性。我们使用现实的铁路基础设施和火车数据进行了数值研究。与一系列基准驾驶策略相比，基于我们基于ADP的方法的轨迹减少了延迟到达的可能性，同时能够更好地利用可用的运行时间进行节能。我们的结果表明，在计算火车轨迹时考虑不确定性很重要，并且我们基于ADP的方法可以有效地处理这种不确定性。我们使用现实的铁路基础设施和火车数据进行了数值研究。与一系列基准驾驶策略相比，基于我们基于ADP的方法的轨迹减少了延迟到达的可能性，同时能够更好地利用可用的运行时间进行节能。我们的结果表明，在计算火车轨迹时考虑不确定性很重要，并且我们基于ADP的方法可以有效地处理这种不确定性。