We consider a differential operator of order 2$ n $ of the type $ A_n u = (-1)^n (a u^{(n)})^{(n)} $, where $ a(x)>0 $ in $ [0, 1]\setminus\{x_0\} $ and $ a(x_0) = 0 $. We show that, for any $ n\in{\mathbb{N}} $, the operator $ -A_n $ generates a contractive analytic semigroup of angle $ \pi/2 $ on $ L^2 (0, 1) $. Note that the domain of $ A_n $ depends on the type of degeneracy of $ a $. Our theorems extend some previous results in [3] where $ n = 1 $.

中文翻译：

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订单2的运算符\ begin {document} $ n $ \ end {document} 内部退化

我们考虑类型为$ A_n u =（-1）^ n（au ^ {（n）}）^ {（n）} $的阶2 $ n $的微分算子，其中$ a（x）> 0 $在$ [0，1] \ setminus \ {x_0 \} $和$ a（x_0）= 0 $中。我们证明，对于任何$ n \ in {\ mathbb {N}} $，运算符$ -A_n $都会在$ L ^ 2（0，1）$上生成角度$ \ pi / 2 $的收缩解析半群。请注意，$ A_n $的域取决于$ a $的简并性类型。我们的定理扩展了[3]其中$ n = 1 $。