The aim of this article is to define and study a notion of unstable algebra over an operad that generalises the classical notion of unstable algebra over the Steenrod algebra. For this study we focus on the case of characteristic 2. We define $\star$-unstable $\mathcal P$-algebras, where $\mathcal P$ is an operad and $\star$ is a commutative binary operation in $\mathcal P$. We then build a functor that takes an unstable module $M$ to the free $\star$-unstable $\mathcal P$-algebra generated by $M$. Under some hypotheses on $\star$ and on $M$, we identify this unstable algebra as a free $\mathcal P$-algebra. Finally, we give some examples of this result, and we show how to use our main theorem to obtain a new construction of the unstable modules studied by Carlsson, Brown-Gitler, and Campbell-Selick, that takes into account their internal product.

中文翻译：

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操作数上的不稳定代数

本文的目的是定义和研究一个操作数上的不稳定代数概念，该操作数将不稳定代数的经典概念推广到 Steenrod 代数上。在本研究中，我们专注于特征 2 的情况。我们定义 $\star$-unstable $\mathcal P$-algebras，其中 $\mathcal P$ 是一个操作数，$\star$ 是 $\ 中的一个可交换二元运算数学 P$。然后我们构建一个函子，将不稳定模块 $M$ 带到由 $M$ 生成的自由 $\star$-unstable $\mathcal P$-代数。在 $\star$ 和 $M$ 上的一些假设下，我们将这个不稳定代数识别为一个免费的 $\mathcal P$-代数。最后，我们给出了这个结果的一些例子，并展示了如何使用我们的主定理来获得由 Carlsson、Brown-Gitler 和 Campbell-Selick 研究的不稳定模的新构造，其中考虑了它们的内积。