In the two preceding parts of this series of papers, we introduced and studied a recursion scheme for constructing joint eigenfunctions $J_N(a_+, a_-,b;x,y)$ of the Hamiltonians arising in the integrable $N$-particle systems of hyperbolic relativistic Calogero-Moser type. We focused on the first steps of the scheme in Part I, and on the cases $N=2$ and $N=3$ in Part II. In this paper, we determine the dominant asymptotics of a similarity transformed function $\rE_N(b;x,y)$ for $y_j-y_{j+1}\to\infty$, $j=1,\ldots, N-1$, and thereby confirm the long standing conjecture that the particles in the hyperbolic relativistic Calogero-Moser system exhibit soliton scattering. This result generalizes a main result in Part II to all particle numbers $N>3$.

中文翻译：

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双曲型相对论 Calogero-Moser Hamiltonian 的联合特征函数。三、分解渐近

在本系列论文的前两部分中，我们介绍并研究了一种递归方案，用于构造可积$N$-粒子中产生的哈密顿量的联合特征函数$J_N(a_+, a_-,b;x,y)$双曲相对论 Calogero-Moser 型系统。我们在第一部分中关注了该方案的第一步，在第二部分中关注了 $N=2$ 和 $N=3$ 的情况。在本文中，我们确定了一个相似变换函数 $\rE_N(b;x,y)$ 对于 $y_j-y_{j+1}\to\infty$, $j=1,\ldots, N -1$，从而证实了长期存在的猜想，即双曲相对论 Calogero-Moser 系统中的粒子表现出孤子散射。该结果将第二部分中的主要结果推广到所有粒子数 $N>3$。