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Optimal time evolution for pseudo-Hermitian Hamiltonians
Theoretical and Mathematical Physics ( IF 1 ) Pub Date : 2020-08-01 , DOI: 10.1134/s0040577920080048
W. H. Wang , Z. L. Chen , Y. Song , Y. J. Fan

If an initial state $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{I}} } \rangle $$ and a final state $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{F}} } \rangle $$ are given, then there exist many Hamiltonians under whose action $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{I}} } \rangle $$ evolves into $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{F}} } \rangle $$ . In this case, the problem of the transition of $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{I}} } \rangle $$ to $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{F}} } \rangle $$ in the least time is very interesting. It was previously shown that for a Hermitian Hamiltonian, there is an optimum evolution time if $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{I}} } \rangle $$ and $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{F}} } \rangle $$ are orthogonal. But for a $$PT$$ -symmetric Hamiltonian, this time can be arbitrarily small, which seems amazing. We discuss the optimum time evolution for pseudo-Hermitian Hamiltonians and obtain a lower bound for the evolution time under the condition that the Hamiltonian is bounded. The optimum evolution time can be attained in the case where two quantum states are orthogonal with respect to some inner product. The results in the Hermitian and pseudo-Hermitian cases coincide if the evolution is unitary with some well-defined inner product. We also analyze two previously studied examples and find that they are consistent with our theory. In addition, we give some explanations of our results with two examples.

中文翻译:

伪 Hermitian 哈密顿量的最佳时间演化

如果给出初始状态 $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{I}} } \rangle $$ 和最终状态 $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{F}} } \rangle $$ ,则存在许多哈密顿量,在其作用下 $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{I}} } \rangle $$ 演化为 $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{F}} } \rangle $美元。在这种情况下,$$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{I}} } \rangle $$ 到 $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{F}} } \rangle $ 的过渡问题$在最短的时间内非常有趣。先前已经表明,对于 Hermitian Hamiltonian,如果 $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{I}} } \rangle $$ 和 $$|\psi_{ \scriptscriptstyle{\mathrm{ F}} } \rangle $$ 是正交的。但是对于 $$PT$$ -对称哈密顿量,这个时间可以任意小,这看起来很神奇。我们讨论了伪 Hermitian Hamiltonian 的最佳时间演化,并在 Hamiltonian 有界的条件下获得了演化时间的下界。在两个量子态关于某个内积正交的情况下可以获得最佳演化时间。如果演化是单一的且具有一些明确定义的内积,则 Hermitian 和伪 Hermitian 情况下的结果是一致的。我们还分析了两个先前研究过的例子,发现它们与我们的理论是一致的。此外,我们通过两个例子对我们的结果进行了一些解释。在两个量子态关于某个内积正交的情况下可以获得最佳演化时间。如果演化是单一的且具有一些明确定义的内积,则 Hermitian 和伪 Hermitian 情况下的结果是一致的。我们还分析了两个先前研究过的例子,发现它们与我们的理论是一致的。此外,我们通过两个例子对我们的结果进行了一些解释。在两个量子态关于某个内积正交的情况下可以获得最佳演化时间。如果演化是单一的且具有一些明确定义的内积,则 Hermitian 和伪 Hermitian 情况下的结果是一致的。我们还分析了两个先前研究过的例子,发现它们与我们的理论是一致的。此外,我们通过两个例子对我们的结果进行了一些解释。
更新日期:2020-08-01
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