We consider the evolution of hypersurfaces on the unit sphere $\mathbb{S}^{n+1}$ by their mean curvature. We prove a differential Harnack inequality for any weakly convex solution to the mean curvature flow. As an application, by applying an Aleksandrov reflection argument, we classify convex, ancient solutions of the mean curvature flow on the sphere.

中文翻译：

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球面上平均曲率流的 Harnack 估计

我们通过它们的平均曲率来考虑单位球体 $\mathbb{S}^{n+1}$ 上超曲面的演化。我们证明了平均曲率流的任何弱凸解的微分 Harnack 不等式。作为一个应用，通过应用 Aleksandrov 反射参数，我们对球面上的平均曲率流的凸的、古老的解进行分类。