Abstract According to an old conjecture of Wegner, the piercing number of a set of axis-parallel rectangles in the plane is at most twice the independence number (or matching number) minus 1, that is, τ ( F ) ≤ 2 ν ( F ) − 1 . On the other hand, the current best upper bound, due to Corea et al. (2015), is a O log log ν ( F ) 2 factor away from the current best lower bound. From the other direction, lower bound constructions with τ ( F ) ≥ 2 ν ( F ) − 4 are known. Here we exhibit families of rectangles with τ = 7 and ν = 4 and thereby show that Wegner’s inequality, if true, cannot be improved for ν = 4 . The analogous result for ν = 3 , due to Wegner, dates back to 1968. A key element in our proof is establishing a connection with the Maximum Empty Box problem: Given a set P of n points inside an axis-parallel box U in R d , find a maximum-volume axis-parallel box that is contained in U but contains no points of P in its interior. Whereas our construction can be extended to any larger independence number ( ν = 5 , 6 , … ), its analysis remains open.

中文翻译：

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关于平行轴矩形的 Wegner 不等式

摘要 根据韦格纳的一个古老猜想，平面内一组轴平行矩形的穿孔数最多为独立数（或匹配数）的两倍减1，即τ ( F ) ≤ 2 ν ( F ) - 1 。另一方面，目前最好的上限，由于 Corea 等人。(2015) 是远离当前最佳下限的 O log log ν ( F ) 2 因子。从另一个方向，具有 τ ( F ) ≥ 2 ν ( F ) − 4 的下界构造是已知的。在这里，我们展示了 τ = 7 和 ν = 4 的矩形族，从而表明 Wegner 不等式如果为真，则无法在 ν = 4 时改进。由于 Wegner， ν = 3 的类似结果可以追溯到 1968 年。我们证明中的一个关键要素是建立与最大空盒问题的联系：给定 R 中轴平行盒 U 内的 n 个点的集合 P , 找到一个最大体积的轴平行盒子，它包含在 U 中，但在其内部不包含 P 点。虽然我们的构造可以扩展到任何更大的独立数 (ν = 5 , 6 , … )，但其分析仍然是开放的。