Let $R = k[x_1, \ldots, x_n]$ be a polynomial ring over a field $k$ of characteristic zero and $\cR$ be the formal power series ring $k[[x_1, \ldots, x_n]]$. If $M$ is a $\D$-module over $R$, then $\cR \otimes_R M$ is naturally a $\D$-module over $\cR$. Hartshorne and Polini asked whether the natural maps $H^i_{\dR}(M)\to H^i_{\dR}(\cR \otimes_R M)$ (induced by $M\to \cR \otimes_R M$) are isomorphisms whenever $M$ is graded and holonomic. We give a positive answer to their question, as a corollary of the following stronger result. Let $M$ be a finitely generated graded $\D$-module: for each integer $i$ such that $\dim_kH^i_{\dR}(M)<\infty$, the natural map $H^i_{\dR}(M)\to H^i_{\dR}(\cR \otimes_R M)$ (induced by $M\to \cR \otimes_R M$) is an isomorphism.

中文翻译：

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完成分级的 $D$-modules

令 $R = k[x_1, \ldots, x_n]$ 是特征零域 $k$ 上的多项式环，$\cR$ 是形式幂级数环 $k[[x_1, \ldots, x_n]] $. 如果 $M$ 是 $R$ 上的 $\D$-模，那么 $\cR\otimes_R M$ 自然是 $\cR$ 上的 $\D$-模。Hartshorne 和 Polini 询问是否将自然映射 $H^i_{\dR}(M)\to H^i_{\dR}(\cR \otimes_R M)$（由 $M\to \cR \otimes_R M$ 诱导）每当 $M$ 被分级和完整时都是同构的。我们对他们的问题给出了肯定的回答，作为以下更强结果的必然结果。令 $M$ 是一个有限生成的分级 $\D$-模：对于每个整数 $i$ 使得 $\dim_kH^i_{\dR}(M)<\infty$，自然映射 $H^i_{\ dR}(M)\to H^i_{\dR}(\cR \otimes_R M)$（由 $M\to \cR \otimes_R M$ 诱导）是同构。