The blow up problem of the semilinear scale-invariant damping wave equation with critical Strauss type exponent is investigated. The life span is shown to be: $T(\varepsilon)\leqslant \exp(C\varepsilon^{-p(p-1)})$ when $p=p_S(n+\mu)$ for $0 < \mu < \frac{n^2+n+2}{n+2}$. This result completes our previous study [9] on the sub-Strauss type exponent $p < p_S(n+\mu)$. Different from the work of M. Ikeda and M. Sobajima [5], we construct the suitable test function by introducing the modified Bessel function of second type. We note this method can be easily extended to some other scale-invariant wave models even with the Laplacian of variable coefficients.

中文翻译：

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具有标度不变阻尼的半线性波动方程的寿命：临界Strauss指数情形

研究了具有临界Strauss型指数的半线性尺度不变阻尼波方程的爆破问题。当$ p = p_S（n + \ mu）$且$ 0 <\ mu时，寿命显示为：$ T（\ varepsilon）\ leqslant \ exp（C \ varepsilon ^ {-p（p-1）}）$ <\ frac {n ^ 2 + n + 2} {n + 2} $。该结果完成了我们先前对次斯特劳斯类型指数$ p <p_S（n + \ mu）$的研究[9]。有别于M. Ikeda和M. Sobajima [5]的工作，我们通过引入第二类型的修正Bessel函数来构造合适的测试函数。我们注意到，即使使用可变系数的拉普拉斯算子，该方法也可以轻松扩展到其他一些尺度不变波模型。