Free analysis is a quantization of the usual function theory much like operator space theory is a quantization of classical functional analysis. Basic objects of free analysis are noncommutative functions. These are maps on tuples of matrices of all sizes that preserve direct sums and similarities. This paper investigates the local theory of noncommutative functions. The first main result shows that for a scalar point $Y$, the ring $O_Y$ of uniformly analytic noncommutative germs about $Y$ is an integral domain and admits a universal skew field of fractions, whose elements are called meromorphic germs. A corollary is a local-global rank principle that connects ranks of matrix evaluations of a matrix $A$ over $O_Y$ with the factorization of $A$ over $O_Y$. Different phenomena occur for a semisimple tuple of non-scalar matrices $Y$. Here it is shown that there exist nonzero nilpotent uniformly analytic functions defined in a neighborhood of $Y$. In particular, $O_Y$ does not embed into a skew field. Nevertheless, the ring $O_Y$ is described as the completion of a free algebra with respect to the vanishing ideal at $Y$. This is the consequence of the second main result, a free Hermite interpolation theorem: if $f$ is a noncommutative function, then for any finite set of semisimple points and a natural number $L$ there exists a noncommutative polynomial that agrees with $f$ at the chosen points up to differentials of order $L$. All the obtained results also have analogs for (non-uniformly) analytic germs and formal germs.

中文翻译：

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自由非交换函数的局部理论：胚芽、亚纯函数和 Hermite 插值

自由分析是通常函数理论的量化，就像算子空间理论是经典泛函分析的量化一样。自由分析的基本对象是非交换函数。这些是保留直接和和相似性的所有大小矩阵元组上的映射。本文研究了非对易函数的局域理论。第一个主要结果表明，对于标量点 $Y$，关于 $Y$ 的一致解析非对易胚的环 $O_Y$ 是一个积分域，并承认分数的普遍偏斜场，其元素称为亚纯胚。推论是一个局部全局秩原则，它将矩阵 $A$ 对 $O_Y$ 的矩阵评估的秩与 $A$ 对 $O_Y$ 的因式分解联系起来。非标量矩阵 $Y$ 的半单元组会出现不同的现象。这里表明存在定义在 $Y$ 邻域内的非零幂零一致解析函数。特别是，$O_Y$ 不会嵌入到倾斜字段中。然而，环 $O_Y$ 被描述为关于 $Y$ 处的消失理想的自由代数的完成。这是第二个主要结果的结果，一个自由 Hermite 插值定理：如果 $f$ 是一个非交换函数，那么对于任何有限的半单点集和一个自然数 $L$，存在一个与 $f 一致的非交换多项式$ 在选定的点上，直到订单 $L$ 的差异。所有获得的结果也有（非均匀）分析细菌和形式细菌的类似物。然而，环 $O_Y$ 被描述为关于 $Y$ 处的消失理想的自由代数的完成。这是第二个主要结果的结果，一个自由 Hermite 插值定理：如果 $f$ 是一个非交换函数，那么对于任何有限的半单点集和一个自然数 $L$，存在一个与 $f 一致的非交换多项式$ 在选定的点上，直到订单 $L$ 的差异。所有获得的结果也有（非均匀）分析细菌和形式细菌的类似物。然而，环 $O_Y$ 被描述为关于 $Y$ 处的消失理想的自由代数的完成。这是第二个主要结果的结果，一个自由 Hermite 插值定理：如果 $f$ 是一个非交换函数，那么对于任何有限的半单点集和一个自然数 $L$，存在一个与 $f 一致的非交换多项式$ 在选定的点上，直到订单 $L$ 的差异。所有获得的结果也有（非均匀）分析细菌和形式细菌的类似物。那么对于任何有限的半单点集和一个自然数 $L$，存在一个非交换多项式，它在所选点处与 $f$ 一致，直到 $L$ 阶微分。所有获得的结果也有（非均匀）分析细菌和形式细菌的类似物。那么对于任何有限的半单点集和一个自然数 $L$，存在一个非交换多项式，它在所选点处与 $f$ 一致，直到 $L$ 阶微分。所有获得的结果也有（非均匀）分析细菌和形式细菌的类似物。