As a generalization of orthonormal wavelets in $L_2(R)$, tight framelets (also called tight wavelet frames) are of importance in wavelet analysis and applied sciences due to their many desirable properties in applications such as image processing and numerical algorithms. Tight framelets are often derived from particular refinable functions satisfying certain stringent conditions. Consequently, a large family of refinable functions cannot be used to construct tight framelets. This motivates us to introduce the notion of a quasi-tight framelet, which is a dual framelet but behaves almost like a tight framelet. It turns out that the study of quasi-tight framelets is intrinsically linked to the problem of the generalized matrix spectral factorization for matrices of Laurent polynomials. In this paper, we provide a systematic investigation on the generalized matrix spectral factorization problem and compactly supported quasi-tight framelets. As an application of our results on generalized matrix spectral factorization for matrices of Laurent polynomials, we prove in this paper that from any arbitrary compactly supported refinable function in $L_2(R)$, we can always construct a compactly supported one-dimensional quasi-tight framelet having the minimum number of generators and the highest possible order of vanishing moments. Our proofs are constructive and supplemented by step-by-step algorithms. Several examples of quasi-tight framelets will be provided to illustrate the theoretical results and algorithms developed in this paper.

中文翻译：

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具有最少生成器数量的广义矩阵谱分解和准紧框架

作为 $L_2(R)$ 中正交小波的推广，紧框架（也称为紧小波框架）在小波分析和应用科学中很重要，因为它们在图像处理和数值算法等应用中具有许多理想的特性。紧密框架通常源自满足某些严格条件的特定可细化功能。因此，不能使用大量可细化函数来构建紧密的框架。这促使我们引入准紧框架的概念，它是一个双框架，但表现得几乎像一个紧框架。事实证明，准紧框架的研究与 Laurent 多项式矩阵的广义矩阵谱分解问题有着内在的联系。在本文中，我们对广义矩阵谱分解问题和紧凑支持的准紧框架进行了系统的研究。作为我们的结果在 Laurent 多项式矩阵的广义矩阵谱分解上的应用，我们在本文中证明，从 $L_2(R)$ 中任意紧支撑的可精化函数，我们总是可以构造一个紧支撑的一维拟具有最少数量的发生器和最高可能的消失矩阶次的紧框架。我们的证明是有建设性的，并由逐步算法补充。将提供几个准紧框架的例子来说明本文中开发的理论结果和算法。作为我们的结果在 Laurent 多项式矩阵的广义矩阵谱分解上的应用，我们在本文中证明，从 $L_2(R)$ 中任意紧支撑的可精化函数，我们总是可以构造一个紧支撑的一维拟具有最少数量的发生器和最高可能的消失矩阶次的紧框架。我们的证明是有建设性的，并由逐步算法补充。将提供几个准紧框架的例子来说明本文中开发的理论结果和算法。作为我们的结果在 Laurent 多项式矩阵的广义矩阵谱分解上的应用，我们在本文中证明，从 $L_2(R)$ 中任意紧支撑的可精化函数，我们总是可以构造一个紧支撑的一维拟具有最少数量的发生器和最高可能的消失矩阶次的紧框架。我们的证明是有建设性的，并由逐步算法补充。将提供几个准紧框架的例子来说明本文中开发的理论结果和算法。我们总是可以构建一个紧凑支持的一维准紧框架，它具有最少的生成器数量和尽可能高的消失矩阶数。我们的证明是有建设性的，并由逐步算法补充。将提供几个准紧框架的例子来说明本文开发的理论结果和算法。我们总是可以构建一个紧凑支持的一维准紧框架，它具有最少的生成器数量和尽可能高的消失矩阶数。我们的证明是有建设性的，并由逐步算法补充。将提供几个准紧框架的例子来说明本文中开发的理论结果和算法。