We prove strict necessary density conditions for coherent frames and Riesz sequences on homogeneous groups. Let $N$ be a connected, simply connected nilpotent Lie group with a dilation structure (a homogeneous group) and let $(\pi, \mathcal{H}_{\pi})$ be an irreducible, square-integrable representation modulo the center $Z(N)$ of $N$ on a Hilbert space $\mathcal{H}_{\pi}$ of formal dimension $d_\pi $. If $g \in \mathcal{H}_{\pi}$ is a phase-space localized vector and the set $\{ \pi (\lambda )g : \lambda \in \Lambda \}$ for a discrete subset $\Lambda \subseteq N / Z(N)$ forms a frame for $\mathcal{H}_{\pi}$, then its density satisfies the strict inequality $D^-(\Lambda )> d_\pi $, where $D^-(\Lambda )$ is the lower Beurling density. An analogous density condition $D^+(\Lambda) < d_{\pi}$ holds for a Riesz sequence in $\mathcal{H}_{\pi}$ contained in the orbit of $(\pi, \mathcal{H}_{\pi})$. The proof is based on a deformation theorem for coherent systems, a universality result for coherent frames and Riesz sequences, some results from Banach space theory, and tools from the analysis on homogeneous groups.

中文翻译：

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齐次群的 Balian-Low 型定理

我们证明了齐次群上相干帧和 Riesz 序列的严格必要密度条件。令 $N$ 是一个连通的、单连通的幂零李群，具有膨胀结构（齐次群），并令 $(\pi, \mathcal{H}_{\pi})$ 是一个不可约的、平方可积的表示模形式维数 $d_\pi $ 的希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\pi}$ 上 $N$ 的中心 $Z(N)$。如果 $g \in \mathcal{H}_{\pi}$ 是一个相空间局部向量，并且集合 $\{ \pi (\lambda )g : \lambda \in \Lambda \}$ 是一个离散子集$\Lambda \subseteq N / Z(N)$对$\mathcal{H}_{\pi}$形成一个框架，那么它的密度满足严格不等式$D^-(\Lambda)> d_\pi $，其中 $D^-(\Lambda )$ 是较低的 Beurling 密度。类似的密度条件 $D^+(\Lambda) < d_{\pi}$ 适用于 $\mathcal{H}_{\pi}$ 中包含在 $(\pi, \mathcal{H}_{\pi})$ 轨道中的 Riesz 序列。该证明基于相干系统的变形定理、相干坐标系和 Riesz 序列的普适性结果、巴拿赫空间理论的一些结果以及齐次群分析的工具。