Sendov's conjecture states that if all the zeroes of a complex polynomial $P(z)$ of degree at least two lie in the unit disk, then within a unit distance of each zero lies a critical point of $P(z)$. In a paper that appeared in 2014, D\'{e}got proved that, for each $a\in (0,1)$, there exists an integer $N$ such that for any polynomial $P(z)$ with degree greater than $N$, if $P(a) = 0$ and all zeroes lie inside the unit disk, the disk $|z-a|\leq 1$ contains a critical point of $P(z)$. Based on this result, we derive an explicit formula $\mathcal{N}(a)$ for each $a \in (0,1)$ and, consequently obtain a uniform bound $N$ for all $a\in [\alpha , \beta]$ where $0<\alpha < \beta < 1$. This (partially) addresses the questions posed in D\'{e}got's paper.

中文翻译：

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森多夫猜想：Dégot 纸上的注释

森多夫猜想指出，如果一个至少为 2 次的复多项式 $P(z)$ 的所有零点都位于单位圆盘中，那么在每个零点的单位距离内都有一个临界点 $P(z)$。在 2014 年发表的一篇论文中，D\'{e}got 证明，对于每个 $a\in (0,1)$，存在一个整数 $N$，使得对于任何多项式 $P(z)$大于$N$的度数，如果$P(a) = 0$且所有零都位于单位盘内，则盘$|za|\leq 1$包含$P(z)$的临界点。基于这个结果，我们为每个 $a \in (0,1)$ 推导出一个明确的公式 $\mathcal{N}(a)$，因此获得所有 $a\in [\ alpha , \beta]$ 其中 $0<\alpha < \beta < 1$。这（部分）解决了 D\'{e}got 的论文中提出的问题。